Дифференциал и производная

Дифференциал

Пусть есть функция от аргумента x f(x).

При изменении аргумента x на Δx будет изменять и значение функции Δf(x)=f(x+Δx)-f(x). Это значение называют приращением функции.

А теперь, собственно, перейдем к понятию дифференциала: Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Осталось понять, что же такое линейная часть приращения. Проведем в точке x касательную к графику функции. Данная касательная в данной точке (в другой точке касательная будет описываться функцией того же вида, но с другими коэффициентами) определяется линейной функцией вида fк(x)=a∙x+b. Чему равны a и b нам сейчас не принципиально.

Так вот, приращение этой функции и будет являться линейной частью приращения: Δfк(x)=fк(x+Δx)-fк(x)

И, как мы уже знаем, это приращение называется дифференциалом и обозначается df(x).

Мы видим, что при Δx стремящемся к нулю, df(x) стремится к Δf(x).

Производная

Введем понятие производной функции (для тех, кто путается в понятиях, я оговорюсь, что это не функция с названием "производная", а производная, то есть некое действие, над функцией).

Производная есть отношение приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

С точки зрения тригонометрии производная является тангенсом угла касательной в точке x₀ к графику функции f(x).

Мы знаем, что при стремлении приращения аргумента к нулю он стремиться к дифференциалу.

Значит, для достаточно малых dx мы можем считать, что

Физический смысл производной

Производная - это функция скорости (в общем смысле этого слова). Есть функция берется от времени, то это скорость в прямом смысле слова.

То есть, если x=f(t)=t² - функция перемещения объекта (движение происходит по прямой, по оси x и зависит от времени t), то определить скорость объекта в любой момент мы сможем с помощью функции v=f'(t)=2t, а ускорение (скорость изменения скорости) - с помощью второй производной a = f''(t) = 2.