Дроби

Обыкновенные дроби

Представим себе, что в семье из четырех человек (папа, мама, брат и сестра) мама испекла пирог. Папа взял нож и порезал его на четыре ровные части.

Один кусок получил папа, второй мама, и по одному куску досталось сыну и дочери. С точки зрения математики каждый получил по одной четвертой части пирога. Записать "одна четвертая" можно так (с косой чертой)

, либо так  (с прямой чертой) 

Отличия в этих записях нет никакого. Косая черта появилась ввиду удобства записи, что в тетрадке, что на компьютере (долгое время на компьютере вообще было невозможно записать прямую черту).

Теперь предположим, что папа порезал пирог не на четыре части, а на шесть. По две части досталось детям, а по одно части - родителям. Проверяем: 2+2+1+1=6, то есть все части розданы.

В таком случае математик скажет, что родители получили по одной шестой  

Как мы видим, нижняя часть дроби (называемая знаменателем) показывает, на сколько частей что-то разделили, а верхняя (числитель) - сколько из этих частей мы используем.

Очевидно, что если в знаменателе стоит единица, что дробь равна числу, стоящему в числителе: 

Если хорошенько вдуматься, то становится понятно, что дробь - это обычное деление, черточка дроби / - то же самое, что знак деления :, числитель - это делимое, а знаменатель - делитель. Но так как мы не можем поделить 1 на 4, то мы и оставили это деление в таком "недорешённом" состоянии.

Сокращение дробей

Посмотрим на следующую дробь: 

Отобразим это графически:

И что мы видим? Похоже, что мы взяли одну третью часть. И действительно:

Но ведь у нас написано три девятых, как же так?

Запоминаем правило: если и числитель, и знаменатель дроби умножить, либо разделить (но не прибавить, или вычесть!) на одно и то же число, то ее значение не изменится.

Действительно 3=3*1, а 9=3*3, а значит

Сложение и вычитание дробей

Дроби можно складывать и вычитать. Единственное условие для этого: у уменьшаемого и вычитаемого должен быть одинаковый знаменатель. При сложении знаменатель не изменяется, а сложение, либо вычитание числителя происходит по обычным правилам.

Но что делать, если у двух дробей разные числители? Вспоминаем про наименьшее общее кратное (НОК).

Если мы домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй - на 3, то получим:

Умножение дробей

В отличии от сложения и вычитания, при умножении дробей изменяются и числитель, и знаменатель:

Деление дробей

При делении дробей выполняется умножение дробей, но дробь, которая является делителем при этом "переворачивается":

Обратим внимание на получившееся число: 

Странно, правда? Четыре части из трех... Это уже получается одно целое и плюс одна третья часть. Это можно записать так: 

Умножение на дробь в числителе которой содержится единица по сути является делением на знаменатель.

При этом любую дробь можно привести к виду, когда в числитеде будет единица.

Вот так легко умножение превращается в деление, и наоборот.

Десятичные дроби

Писать черточки не всегда удобно, поэтому появились так называемые десятичные дроби. Десятичная дробь позволяет записать результат деления в том случае, когда знаменатель является степенью числа 10 (10, 100, 1000 и так далее). До запятой записывается целая часть числа, а после запятой - дробная.

Одна десятая:

Одна сотая:

Одна целая и одна десятая:

Как написать в виде десятичной дроби 

Очень просто: сделаем знаменатель равным десяти: 

Но нужно учитывать, что не любое число можно точно записать десятичной дробью!

Например, 

Как мы ни будем пытаться привести знаменатель к степени числа 10, у нас это не получится...

Приближенно 1/3=0,333333333333333333333, то есть эта дробь является бесконечной. Для записи таких дробей существует запись 0,(3), которая читается как "ноль целых и три в периоде". А 1/7 вообще равно 0,14285714285714285714285714285714285714=0,(142857) - "ноль целых и 142 тысячи 857 в периоде".

Если Вы считает статью полезной, и в душе хоть немного эколог, пожалуйста, помогите "дубу" - поделитесь ссылкой в социальных сетях (ссылка в меню справа). Кто знает, может именно благодаря Вам другой ребенок не бросит математику, а может и полюбит ее, став в будущем хорошим инженером, или великим учёным.