Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД)

Первое, что мы должны запомнить, что есть числа, которые невозможно поделить без остатка ни на одно число, кроме единицы и самого себя. Такие числа называются простыми числами. Например, 7. Семь невозможно поделить ни на одно число, кроме 1 и 7. Возьмем число 12. Оно делится на 3, 2, 4, 6. То есть оно не является простым.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел - это наименьшее число, которое можно разделить на оба эти числа без остатка. 

Например, НОК(3,2)=6. Потому что шесть можно поделить и на 3, и на 2. При этом не существует таких числе, меньше, чем 6 (больше существуют, например 12, 24...)

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел - это наибольшее число, на которое можно разделить без остатка оба числа.

Например, НОД(6, 4)=2. Потому что и 6, и 4 делятся нацело на 2. При этом не существует такого числа большего, чем 2.

Зная одно из этих значений, можно найти и другое:

НОД(x,y)*НОК(x,y)=x*y

Поэтому

НОД(x,y)=(x*y):НОК(x,y), и наоборот НОК(x,y)=(x*y):НОД(x,y)

Но как вычислить эти значения, если ни одно из них не известно?

1. Необходимо разложить оба числа на простые множители (то есть на множители, являющиеся простыми числами).
2. НОК будет равен произедению всех множителей, входящих хотя бы в одно из чисел. При этом, если какой-то простой множитель сходит в число несколько раз, то необходимо взять максимальное (наибольшее) число раз, которое он встречается в любом из чисел. Понимаю, что это немного сложно понять без примера.
   Вычислим НОК(24,28). 24=2*2*2*3. 28=2*2*7. Мы видим, что в обоих числах встречается множитель 2. Но в числе 24 он встречается три раза, а в числе 28 - два раза. Нам необходимо взять большее число раз, то есть три раза. Также мы видим, что в числе 24 есть множитель 3, который отсутствует в числе 28. Его мы тоже забираем. А в числе 28 есть множитель 7, которого нет в числе 24. И его мы берем.
   В итоге записываем: НОК(24,28)=2*2*2*3*7=168. Проверяем, делится ли это число на 24 и 28. 168:24=7. 168:28=6. Значит, делится на оба числа нацело.
3. Возможно, кто-то уже догадался, как вычисляется НОД. Да, все с точность до наоборот. Надо брать только те множители, которые есть в разложении обоих чисел, причем, если множитель встречается в обоих числах, то нужно брать наименьшее число вхождений.
   Вычислим НОД тех же числе, что мы брали в примере с НОК. НОД(24,28). 24=2*2*2*3. 28=2*2*7. Как мы видим, в обоих числах встречаются только двойки. Причем в 24 она встречается три раза, а в 28 - два раза. Нам нужно взять наименьшее число вхождений, значит берем два.
   Записываем: НОД(24,28)=2*2=4. Проверяем: 24:4=6. 28:4=7.

Если Вы считает статью полезной, и в душе хоть немного эколог, пожалуйста, помогите "дубу" - поделитесь ссылкой в социальных сетях (ссылка в меню справа). Кто знает, может именно благодаря Вам другой ребенок не бросит математику, а может и полюбит ее, став в будущем хорошим инженером, или великим учёным.