Первообразная и интеграл

Допустим, перед Вами встала задача вычислить площадь фигуры, которую ограничивает некая функция в интервале значений от X₁ до X₂.

Хорошенько подумав, Вы делите эту фигуру на множество прямоугольников, считаете площадь каждого из них, потом полученные площади складываете.

Таким образом Вы получаете приблизительную площадь фигуры. Понятно, что чем меньше ширина этих прямоугольников (ΔX), тем ближе полученный результат к реальному.

Но мы можем получить и еще более точный результат, если возьмем не прямоугольники, а трапеции, верхней частью которых является касательная к нашей кривой.

Стоп! Внимательный читатель может заметить, что уже слышал про касательные к функции, когда читал про дифференциал. Заметит, и будет прав!

Потому что речь идет о первообразной функции F(x), которая является обратной производной.

Первообразной или примитивной функцией функции f(x) называют такую F(x), производная которой (на всей области определения) равна f(x).

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Если у интеграла не указаны границы интегрирования, то он называется неопределенным интегралом.

Хочу обратить внимание на один факт, которому обычно не уделяется внимания при изучении интегралов: dt в составе этого интеграла это не просто "так положено записывать", как считают многие, а именно умножение! Функция f(t) умножена на дифференциал dt!

Так вот, в нашей задаче площадь фигуры будет равна интегралу, взятому на интервале от x₁ до x₂. Через первообразные запись будет выглядеть так (пределы интеграла обозначены как x₁ и x₂ условно):

А еще (вспоминая, с чего мы начали)

Мы помним, что производная константы равна нулю. Из этого проистекает важное свойство первообразной:

Если F(x) является первообразной функции f(x), то и F(x)+C (где C-константа) также является первообразной функции f(x).

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]

C называется постоянной интегрирования.