Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

или

Доказательство

Из вершины C на сторону AB опускаем высоту CD.

AD = b*cos(A)

BD = AB-AD = c - b*cos(A)

Запишем теорему Пифагора для двух случаев:

CD² = AC² - AD² = b²-(b*cos(A))²

CD² = BC² - BD² = a² - (c-b*cos(A))²

Приравниваем:

b²-(b*cos(A))² = a² - (c-b*cos(A))²

Возводим в квадрат разность:

b² - (b*cos(A))² = a² - (c² - 2cb*cos(A) + (b*cos(A))²)

b² - (b*cos(A))² = a² - c² + 2cb*cos(A) - (b*cos(A))²

Слагаемое (b*cos(A))² можно сократить:

b² = a² - c² + 2cb*cos(A)

Переносим переменную a в левую часть и получаем:

a² = b² + c² - 2cb*cos(A)

Что и требовалось доказать.