Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

a² = b² + c²

Учитывая, что квадрат длины равен площади квадрата со стороной той же длины, можно дать еще одно определение.

S1 = S2 + S3

 Доказательство (через площади квадратов)

Из четырех одинаковых прямоугольных треугольников создадим квадрат со сторонами a+b.

Мы видим, что внутри большого квадрата получился вписанный квадрат, образованный гипотенузами. Его площадь равна S1=a².

Теперь разложим эти треугольники по-другому, но сохранив при этом размер основного квадрата.

Теперь у нас внутри большого квадрата получается два маленьких, один из которых образован катетом b и имеет площадь S3 = b², а второй - катетом c и имеет площадь S2 = c².

Так как размер основного квадрата не изменялся, то можно утверждать, что S1 = S2 + S3, то есть a² = b² + c². Что и требовалось доказать.

Доказательство (через подобные треугольники)

Проведем из вершины A на сторону BC высоту. Точку пересечения высоты со стороной BC обозначим как D.

Треугольники ABC и ACD подобны, так как углы A и D соотвественно являются прямыми, а угол C у треугольников общий.

Также треугольники ABC и ABD являются подобными.

Отсюда получаем:

Складывая оба выражения, получаем:

Что и требовалось доказать.