Задачи на скорость

Я заметил, что задачи на скорость вызывают особенные проблемы у школьников 4-5 классов.

Прежде всего, давайте поймем, что скорость - понятие довольно абстрактное. Это не обязательно велосипедисты, едущие друг-другу навстречу. Дедушка с внуком, красящие забор - это тоже скорость (скорость работы деда и внука). Бассейн, в который из одной трубы воду наливают, а другой трубой воду откачивают - это тоже скорость (скорость подачи воды).

Скорость - это количество выполненной работы за некоторый фиксированный отрезок времени. И абсолютно неважно, какая работа имеется ввиду: езда на велосипеде, наклейка марок, вытирание пыли, или что-то другое. И принципы решения таких задач тоже одинаковые. И запись "75 км/ч" не значит ровным образом ничего, кроме того, что за 1 час (75 км/ч) будет пройдено 75 (75 км/ч) километров (75 км/ч). Не нужно искать каких-то тайных смыслов в скорости.

Рассмотрим конкретные задачи из учебника математики за пятый класс.

---

Туристу нужно добраться до туристической базы, до которой 60 км. Сначала он ехал 2 часа на велосипеде со скоростью 16 км/час, потом шел 3 часа пешком со скоростью 4 км/час и после этого сделал привал. Сколько километров ему осталось пройти?

1. Посчитаем, сколько километров турист проехал на велосипеде: 2ч*16км/ч=32км.
   
2. Теперь - сколько километров он прошел пешком: 3ч*4км/ч=12км.
   
3. Сколько километров он прошел в сумме: 32км+12км=44км.
   
4. Сколько километров ему осталось пройти: 60км-44км=16км.

---

Один автомат за час наполняет соком 75 банок, а другой - 65 банок. Автоматы включают одновременно. За какое время будет наполнено 420 банок?

Автоматы включают одновременно, значит они начинают наполнять банки в одно и то же время. Начинаем ставить банки около автомата, их наполнившего. Через 1 час рядом с первым автоматом будет стоять 75 полных банок (его скорость - 75 банок/ч), а рядом со вторым - 65 банок (его скорость - 65 банок/ч). То есть всего за час два автомата наполнили 75 банок+65 банок. Так как эти два автомата помогали друг-другу  в выполнении той самой работы за единицу времени, то нужно сложить их скорости: 75 банок/ч + 65 банок/ч = 140 банок/ч. Это общая скорость двух автоматов. Она означает, что работая сообща два автомата наполняют 140 банок за час.

Естественно, за второй (третий, четвертый и так далее) часы они будут наполнять такое же количество банок. Соответственно, чтобы узнать, сколько банок они наполнят черех X часов надо 140 банок/ч умножить на X ч. Но так как требуемое число банок нам известно, то нужно требуемое количество поделить (действие, обратное умножению) на скорость: 420 банок : 140 банок/ч = 3 ч.

Снова обращаю внимание на тот факт, что над единицами измерения выполняются математические операции как над числами: банок : (банок/ч) = (банок/1) : (банок/ч). Вспоминаем, как делятся дроби, и получаем (банок/1)*(ч/банок) = (банок*ч)/(1*банок). Сокращаем банок в числителе и знаменателе и получаем ч/1 = ч, что полностью совпадает с результатом.

---

На двух принтерах, работающих одновременно, распечатали 264 страницы рукописи за 12 минут. Скорость печати одного принтера  12 страниц в минуту. Какова скорость печати второго принтера?

Два принтера работают одновременно. Таким образом они помогают друг-другу напечатать нужное (264) количество страниц. И их общая скорость равна сумме скоростей обоих принтеров по-отдельности.

Так как мы знаем скорость одного принтера, то узнав общую скорость их работы, сможем найти и скорость работы второго принтера.

При этом мы знаем, что они одновременно работали, печатая 264 страницы, и выполнили задачу за 12 минут. Поэтому мы можем легко вычислить их общую скорость: 264 стр : 12 мин = 22 стр/мин.

Теперь, зная общую скорость и скорость первого принтера мы можем вычислить скорость второго принтера: 22 стр/мин - 12 стр/мин = 10 стр/мин.

---

Дед и внук, работая вместе, покрасили забор длиной 168 м за 12 часов. Если бы дед красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 час. За сколько часов покрасил бы этот забор внук?

По сути мы имеем три варианта:

1. Когда дед и внук делают совместно (помогают друг-другу) работу (покраска забора). В этом случае их общая скорость равна сумме скоростей каждого по отдельности. Часть забора красит дед, со своей скоростью, а часть - достается внуку, который работает со своей скоростью.
2. Когда дед красит забор один. В этом случае скорость покраски (и время работы) определяется только его (деда) скоростью.
3. Когда внук красит забор один. В этом случае скорость покраски (и время работы) определяется только его (внука) скоростью.

Скорость внука (пункт 3) нам неизвестна, и ее нужно найти по условию задачи.

Однако, учитывая, что длина забора никак не изменяется в зависимости от того кто, как, какой краской и каким цветом красит забор, а время совместной работы мы знаем, то мы можем найти общую скорость деда и внука: 168 м : 12 ч = 14 м/ч. Также мы знаем, сколько времени потратил бы дед, если бы он работал один. Значит, мы можем найти скорость работы деда: 168 м : 21 ч = 8 м/ч.

Теперь, зная совместную скорость и скорость деда, мы можем вычислить скорость работы внука: 14 м/ч - 8 м/ч = 6 м/ч.

Теперь мы можем вычислить и сколько часов бы потратил внук на покраску забора: 168 м : 6 м/ч = 28 ч.

---

 А теперь, пожалуй, немного походим...

Из города А вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Ему навстречу из города Б вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Расстояние между городами А и Б равно 16 км. Через какое время они встретятся?

А	Б

Как будет выглядеть картина через 1 час?

Пешеход из города А пройдет 5 км, а пешеход из города Б - 3 км.

А		Б

Пешеходы помогают друг-другу встретиться, так как торопятся друг-другу навстречу. И, наверняка оба пешехода крайне положительно относятся к тому, что они быстрее встретятся, раз идут друг-другу навстречу. Математика тоже крайне положительно к этому относится, поэтому скорости в этом случае складываются (обе скорости положительны). Их общая скорость (относительная скорость - скорость относительно друг-друга) равна сумме скоростей каждого из них: 5км/ч+3км/ч=8 км/ч.

При желании можно немного усложнить абстракцию (с подобными задачами вы будете встречаться через пару лет). Представим, что пешеход, который вышел из города Б несет очень легкую и очень длинную (длиной 16 км) линейку, держа ее так, что "ноль" линейки находится на его стороне. После часа ходьбы второй пешеход все еще остается на нулевой отметке (потому что несет линейку при себе). Однако, как мы понимаем, расстояние между пешеходами не зависит от того, если ли у кого-то из них в руках линейка.

Поэтому можно сказать, что второй пешеход все это время стоял на месте, а первый - двигался со скоростью 5км/ч+3км/ч=8 км/ч.

А		Б

Ну а раз расстояние между городами у нас равно 16 км, а скорость сближения пешеходов равна 8 км/ч, то встретятся они через 16 км : 8 км/ч = 2 ч.

---

Из города А одновременно, в противоположных направления вышли два пешехода. Один двигается со скоростью со скоростью 5 км/ч,  а второй - со скоростью 3 км/ч.. Какое расстояние между ними будет через 3 часа?

А

Я заметил, что на вопрос о том, нужно ли складывать, или вычитать скорости пешеходов, большинство, не думая, отвечает, что вычитать. Ведь они же идут не навстречу друг-другу, а от друг-друга. И это... неправильный ответ. Скорости нужно складывать! Потому что они помогают друг-другу выполнять работу (совместно выполняют работу по удалению друг от друга).

Только если в предыдущей задаче пешеходы помогали друг-другу скорее встретиться, то теперь они помагают друг-другу как можно быстрее уйти друг от друга на максимальное расстояние.

Что произойдет через 1 час?

	А

Значит, относительная скорость пешеходов: 5 км/ч + 3 км/ч = 8 км/ч.

Соответственно, через три часа расстояние будет равно: 8 км/ч * 3 ч = 24 км.

---

Из города А одновременно, в одном направлении вышел пешеход со скоростью 5 км/ч и выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние между ними будет через 2 часа?

Велосипедист и пешеход движутся из одной точки, в одном направлении, но с разной скоростью (велосипедист быстрее).

А

Естественно, велосипедист будет обгонять пешехода и отдаляться от него (но не так быстро, как если бы пешеход стоял, потому что пешеход пытается догнать велосипедиста как может). Что будет через 1 час?

А

Думаю, у пешехода крайне негативное (отрицательное) отношение к тому, что ему приходится догонять велосипедиста. Велосепидист уезжает от пешехода и мешает ему его догнать. У математики - тоже. Поэтому скорость пешехода берется со знаком минус: 15 км/ч - 5 км/ч = 10 км/ч. Это относительная скорость (скорость велосипедиста относительно пешехода - та скорость, с которой он его обгоняет). Соответственно за 1 час расстояние между ними увеличивается на 10 км.

Значит через 2 часа расстояние между ними будет (на столько велосипедист обгонит пешехода): 10 км/ч*2 ч = 20 км.

---

Город Б находится между городами А и В. Расстояние между городами А и Б равно 30 км. Из города Б в город В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. В это же время из города А в город В выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через какое время велосипедист догонит пешехода?

В задачах часто бывает, что присутствуют данные, которые не нужны для ее решения. Это часто путает тех, кто пытается решить задачу, и даже не вдумавшись, начинает говорить, что часть данных отсутствует, поэтому решить ее невозможно. Вот и в данном случае, есть город В. Но нет ни расстояния от города А до него, ни расстояния до него от города Б. Их нет. И нет их потому, что эти данные совершенно не нужны для решения.

А	Б	В

Что произойдет через 1 час? Очевидно, что велосипедист успеет сократить расстояние до пешехода, а пешеход, как может, мешает ему себя догнать. Но успеет ли он его догнать?

А		Б		В

За 1 час велосипедист проезжает 15 км, а пешеход проходит 5 км. Значит за 1 час велосипедист сокращает расстояние между ними на 15 км - 5 км = 10 км. Относительная скорость (скорость велосипедиста относительно пешехода - та скорость, с которой он его догоняет): 15 км/ч - 5 км/ч = 10 км/ч.

Учитывая, что изначальное расстояние между пешеходом и велосипедистом (оно равно расстоянию между городами А и Б) было 30 км, то велосипедист догонит пешехода через: 30 км : 10 км/ч = 3 ч.

---

От станции в направлении поселка, расстояние до которого 24 км, вышел пешеход со скорость 4 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из поселка выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через какое время после своего выхода пешеход встретится с велосипедистом?

С	П

Нужно учесть, что путешествие пешехода можно разделить на две части:

1. Пешеход идет к поселку первые два часа. В это время велосипедист не движется ему навстречу.
2. Пешеход и велосипедист движутся друг-другу навстречу.

Рассмотрим отдельно первый час.

С	П

Теперь второй час.

С	П

И только в этот момент навстречу ему начинает ехать велосипедист.

За это время пешеход успел пройти: 4 км/ч * 2 ч = 8 км. Значит на этот момент пешехода и велосипедиста разделяют: 24 км - 8 км = 16 км.

Начиная с этого момента необходимо учитывать уже не только скорость пешехода, а общую скорость пешехода и велосипедиста, которая равна 4 км/ч + 12 км/ч = 16 км/ч.

Значит, до встречи им осталось 16 км : 16 км/ч = 1 час.

Еще через 1 час (третий час)

С	П

Учитывая, что до этого момента пешеход уже прошел 2 часа, общее время до встречи равно 2 ч + 1 ч = 3 ч

 

Если Вы считает статью полезной, и в душе хоть немного эколог, пожалуйста, помогите "дубу" - поделитесь ссылкой в социальных сетях (ссылка в меню справа). Кто знает, может именно благодаря Вам другой ребенок не бросит математику, а может и полюбит ее, став в будущем хорошим инженером, или великим учёным.