<br />
<b>Warning</b>:  session_name(): Cannot change session name when session is active in <b>/home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php</b> on line <b>231</b><br />
<br />
<b>Warning</b>:  session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in <b>/home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php</b> on line <b>232</b><br />
<WRAP #content>
======Алгебраическая система======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Алгебраическая система** (или **алгебраическая структура**) в [[универсальная-алгебра|универсальной алгебре]] — [[множество]] </wrap><tex>\small {G}</tex><wrap> (//носитель//) с заданным на нём набором [[операция-математика-|операций]] и [[отношение-теория-множеств-|отношений]] (//сигнатура//), удовлетворяющим некоторой системе [[аксиома|аксиом]]. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется [[алгебра-универсальная-алгебра-|алгеброй]], а система с пустым множеством операций — моделью.</wrap>

<wrap>//n//-арная операция на //G// — это [[функция-математика-|отображение]] [[прямое-произведение|прямого произведения]] //n// экземпляров множества в само множество </wrap><tex>\small {G^{n}\to G}</tex><wrap>. По определению, //0//-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются [[унарная-операция|унарные]] и [[бинарная-операция|бинарные]] операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами [[топология|топологии]], [[алгебра|алгебры]], [[комбинаторика|комбинаторики]] постепенно накапливается техника работы с операциями большей [[арность|арности]], здесь в качестве примера можно привести теорию [[операда|операд]] (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними ([[мультиоператорная-алгебра|мультиоператорных алгебр]]).</wrap>

<wrap>Для алгебраических систем естественным образом определяются [[морфизм|морфизмы]] как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются [[теория-категорий|категории]] [[группа-математика-|групп]], [[кольцо-математика-|колец]], //R//-[[модуль-над-кольцом|модулей]] и т. п.</wrap>

<wrap>Если множество обладает структурой [[топологическое-пространство|топологического пространства]], и операции являются непрерывными, то его называют **топологической алгебраической системой**. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.</wrap>

<wrap>Не все алгебраические конструкции описываются //алгебраическими системами//, в качестве примера таковых можно упомянуть [[коалгебра|коалгебры]], [[биалгебра|биалгебры]], [[алгебра-хопфа|алгебры Хопфа]] и [[комодуль|комодули]] над ними.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Основные классы алгебраических систем=====

  * [[множество|Множество]] можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений((Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15)).

====Группоиды, полугруппы, группы====

  * [[магма-алгебра-|Группоид]] — множество с одной бинарной операцией <tex>\small {\cdot :G\times G\to G}</tex>, обычно называемой [[умножение|умножением]].
  * [[правая-квазигруппа|Правая квазигруппа]] — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение <tex>\small {x\cdot a=b}</tex> имеет единственное решение для любых <tex>\small {a}</tex> и <tex>\small {b}</tex>.
  * [[квазигруппа-математика-|Квазигруппа]] — одновременно правая и левая квазигруппы.
  * [[лупа-алгебра-|Лупа]] — квазигруппа с нейтральным элементом <tex>\small {e\in G}</tex>, таким, что <tex>\small {a\cdot e=e\cdot a=a}</tex>.
  * [[полугруппа|Полугруппа]] — группоид, в котором умножение [[ассоциативность-математика-|ассоциативно]]: <tex>\small {a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}</tex>.
  * [[моноид|Моноид]] — полугруппа с нейтральным элементом.
  * [[группа-математика-|Группа]] — моноид, в котором для каждого элемента //a// группы можно определить обратный элемент //a//<sup>−1</sup>, такой, что <tex>\small {a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e}</tex>.
  * [[абелева-группа|Абелева группа]] — группа, в которой операция [[коммутативность|коммутативна]], то есть, <tex>\small {a\cdot b=b\cdot a}</tex>. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

====Кольца====

  * [[кольцо-алгебра-|Кольцо]] — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон [[дистрибутивность|дистрибутивности]]: <tex>\small {a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}</tex>.
  * [[коммутативное-кольцо|Коммутативное кольцо]] — кольцо с коммутативным умножением.
  * [[целостное-кольцо|Целостное кольцо]] — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

  * [[тело-алгебра-|Тело]] — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  * [[поле-алгебра-|Поле]] — коммутативное кольцо, являющееся телом.

  * [[полукольцо|Полукольцо]] — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  * [[почтикольцо|Почтикольцо]] — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

====Алгебры====

  * [[алгебра-алгебраическая-система-|Алгебра]] — [[линейное-пространство|линейное пространство]] с [[билинейное-отображение|билинейной]] [[дистрибутивность|дистрибутивной]] операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой [[линейное-пространство|линейного пространства]]
  * [[ассоциативная-алгебра|Ассоциативная алгебра]] — алгебра с ассоциативным умножением
  * [[алгебра-термов|Алгебра термов]]
  * [[коммутативная-алгебра|Коммутативная алгебра]]
  * [[градуированная-алгебра|Градуированная алгебра]]
  * [[алгебра-ли|Алгебра Ли]] — алгебра с [[антикоммутативность|антикоммутативным]] умножением (обычно обозначаемым <tex>\small {[a,b]}</tex>), удовлетворяющим [[тождество-якоби|тождеству Якоби]] <tex>\small {\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}</tex>
  * [[алгебра-лейбница|Алгебра Лейбница]] — алгебра с умножением (обычно обозначаемым <tex>\small {[a,b]}</tex>), удовлетворяющим [[тождество-якоби|тождеству Якоби]] <tex>\small {\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}</tex>
  * [[алгебра-йордана|Алгебра Йордана]] — коммутативная алгебра с [[тождество-математика-|тождеством]] слабой ассоциативности: <tex>\small {\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}</tex>
  * [[алгебра-некоммутативная-йорданова|Алгебра некоммутативная йорданова]] — некоммутативная алгебра с [[тождество-математика-|тождеством]] слабой ассоциативности: <tex>\small {\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}</tex> и [[тождество-математика-|тождеством]] эластичности: <tex>\small {\displaystyle x(yx)=(xy)x}</tex>
  * [[альтернативная-алгебра|Альтернативная алгебра]] — алгебра с [[тождество-математика-|тождествами]] <tex>\small {\displaystyle x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x}</tex>
  * [[алгебра-мальцева|Алгебра Мальцева]] — [[антикоммутативность|антикоммутативная]] алгебра с [[тождество-математика-|тождеством]]:<WRAP>
<tex>\small {\displaystyle (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}</tex></WRAP>
  * [[коммутантно-ассоциативная-алгебра|Коммутантно-ассоциативная алгебра]]
  * [[операда|Алгебра над операдой]] — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама [[операда]] играет роль сигнатуры алгебры.

====Решётки====

  * [[решётка-теория-множеств-|Решётка]] — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, [[идемпотентность|идемпотентными]] операциями, удовлетворяющими [[закон-поглощения|закону поглощения]].
  * [[булева-алгебра|Булева алгебра]].

=====Литература=====

  * П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
  * А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
  * «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Универсальная алгебра"}}