Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Алгебраическое дополнение======
[{{wiki:220px-matrix-alg-add-2-.png|Нахождение дополнительного минора и алгебраического дополнения}}]**Алгебраическим дополнением** элемента \small {{\ a_{{ij}}}} [[матрица-математика-|матрицы]] \small {{\ A}} называется число
\small {{\ A_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}M_{{ij}}}},
где \small {{\ M_{{ij}}}} — [[дополнительный-минор|дополнительный минор]], [[определитель]] матрицы, получающейся из исходной матрицы \small {{\ A}} путем вычёркивания //i// -й строки и //j// -го столбца.
=====Свойства=====
Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:
**Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу).** Определитель матрицы \small {{A}} может быть представлен в виде суммы
\small {{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}}
Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:
**Лемма о фальшивом разложении определителя.** Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть \small {{\ \sum _{{j=1}}^{n}a_{{i_{1}j}}A_{{i_{2}j}}=\sum _{{i=1}}^{n}a_{{ij_{1}}}A_{{ij_{2}}}=0}} при \small {{i_{1}\neq i_{2}}} и \small {{j_{1}\neq j_{2}}}.
Из этих утверждений следует алгоритм нахождения [[обратная-матрица|обратной матрицы]]:
* заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
* [[транспонированная-матрица|транспонировать]] полученную матрицу - в результате будет получена [[союзная-матрица|союзная матрица]],
* разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.
=====См. также=====
* [[минор-линейная-алгебра-|Минор]]
* [[дополнительный-минор|Дополнительный минор]]
* [[определитель|Определитель]]
\\
{{tag>Определители}}