Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Биекция======
[{{wiki:200px-bijection-svg.png|Биективная функция.}}]**Биекция** — это [[отображение]], которое является одновременно и [[сюръекция|сюръективным]], и [[инъекция-математика-|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё **взаимно-однозначным отображением** (соответствием), **одно-однозначным отображением**.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются **[[мощность-множества|равномощными]]**. С точки зрения [[теория-множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение [[конечное-множество|конечного множества]] в себя называется [[перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества.
=====Определение=====
[[функция-математика-|Функция]] {f:X\to Y} называется **биекцией** (и обозначается {f:X\leftrightarrow Y}), если она:
- Переводит разные элементы [[множество|множества]] {X} в разные элементы множества {Y} ([[инъекция-математика-|инъективность]]). Иными словами,
* {\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)}.
- Любой элемент из {Y} имеет свой прообраз ([[сюръекция|сюръективность]]). Иными словами,
* {\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}.
\\
=====Примеры=====
* [[тождественное-отображение|Тождественное отображение]] {\mathrm {id}}:\ X\to X на множестве {X} биективно.
* {f(x)=x,\;f(x)=x^{3}} — биективные функции из {\mathbb {R}} в себя. Вообще, любой [[моном]] одной [[переменная-величина|переменной]] [[чётные-и-нечётные-числа|нечетной]] [[степень-многочлена|степени]] является биекцией из {\mathbb {R}} в себя.
* {f(x)=e^{x}} — биективная функция из {\mathbb {R}} в {\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )}.
* {f(x)=\sin x} не является биективной функцией, если считать её определённой на всём {\mathbb {R}}.
=====Свойства=====
[{{wiki:300px-bijective-composition-svg.png|Композиция [[инъективность|инъекции]] и [[сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.}}]
* Функция {f:X\to Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная-функция|обратная функция]] {f^{{-1}}:Y\to X} такая, что
{\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x} и {\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.}
* Если функции {f} и {g} биективны, то и композиция функций {g\circ f} биективна, в этом случае {(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}}. Коротко: **[[композиция-функций|композиция]] биекций является биекцией.** Обратное, однако, неверно: если {g\circ f} биективна, то мы можем утверждать лишь, что {f} инъективна, а {g} сюръективна.
=====Применения=====
====В информатике====
Организация связи «один к одному» между [[table-database-|таблицами]] [[реляционная-субд|реляционной БД]] на основе [[первичный-ключ|первичных ключей]].
=====См. также=====
* [[инъекция-математика-|Инъекция (математика)]]
* [[сюръекция|Сюръекция]]
* [[отображение|Отображение]]
* [[гомоморфизм|Гомоморфизм]]
* [[морфизм|Морфизм]]
* [[эндоморфизм|Эндоморфизм]]
* [[автоморфизм|Автоморфизм]]
* [[мономорфизм|Мономорфизм]]
* [[эпиморфизм|Эпиморфизм]]
* [[биморфизм|Биморфизм]]
* [[изоморфизм-математика-|Изоморфизм]]
* [[синоним|Синоним]]
* [[подобие|Подобие]]
* [[аналогия|Аналогия]]
=====Литература=====
* //Н. К. Верещагин, А. Шень.// [[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf|Часть 1. Начала теории множеств]] // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2002. — 128 с.
* //Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. // Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.
\\
{{tag>"Типы функций" "Общие понятия о функциях"}}