Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Биекция====== [{{wiki:200px-bijection-svg.png|Биективная функция.}}]**Биекция** — это [[отображение]], которое является одновременно и [[сюръекция|сюръективным]], и [[инъекция-математика-|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё **взаимно-однозначным отображением** (соответствием), **одно-однозначным отображением**. Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются **[[мощность-множества|равномощными]]**. С точки зрения [[теория-множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы. Взаимно-однозначное отображение [[конечное-множество|конечного множества]] в себя называется [[перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества. =====Определение===== [[функция-математика-|Функция]] {f:X\to Y} называется **биекцией** (и обозначается {f:X\leftrightarrow Y}), если она: - Переводит разные элементы [[множество|множества]] {X} в разные элементы множества {Y} ([[инъекция-математика-|инъективность]]). Иными словами, * {\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)}. - Любой элемент из {Y} имеет свой прообраз ([[сюръекция|сюръективность]]). Иными словами, * {\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}. \\ =====Примеры===== * [[тождественное-отображение|Тождественное отображение]] {\mathrm {id}}:\ X\to X на множестве {X} биективно. * {f(x)=x,\;f(x)=x^{3}} — биективные функции из {\mathbb {R}} в себя. Вообще, любой [[моном]] одной [[переменная-величина|переменной]] [[чётные-и-нечётные-числа|нечетной]] [[степень-многочлена|степени]] является биекцией из {\mathbb {R}} в себя. * {f(x)=e^{x}} — биективная функция из {\mathbb {R}} в {\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )}. * {f(x)=\sin x} не является биективной функцией, если считать её определённой на всём {\mathbb {R}}. =====Свойства===== [{{wiki:300px-bijective-composition-svg.png|Композиция [[инъективность|инъекции]] и [[сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.}}] * Функция {f:X\to Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная-функция|обратная функция]] {f^{{-1}}:Y\to X} такая, что {\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x} и {\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.} * Если функции {f} и {g} биективны, то и композиция функций {g\circ f} биективна, в этом случае {(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}}. Коротко: **[[композиция-функций|композиция]] биекций является биекцией.** Обратное, однако, неверно: если {g\circ f} биективна, то мы можем утверждать лишь, что {f} инъективна, а {g} сюръективна. =====Применения===== ====В информатике==== Организация связи «один к одному» между [[table-database-|таблицами]] [[реляционная-субд|реляционной БД]] на основе [[первичный-ключ|первичных ключей]]. =====См. также===== * [[инъекция-математика-|Инъекция (математика)]] * [[сюръекция|Сюръекция]] * [[отображение|Отображение]] * [[гомоморфизм|Гомоморфизм]] * [[морфизм|Морфизм]] * [[эндоморфизм|Эндоморфизм]] * [[автоморфизм|Автоморфизм]] * [[мономорфизм|Мономорфизм]] * [[эпиморфизм|Эпиморфизм]] * [[биморфизм|Биморфизм]] * [[изоморфизм-математика-|Изоморфизм]] * [[синоним|Синоним]] * [[подобие|Подобие]] * [[аналогия|Аналогия]] =====Литература===== * //Н. К. Верещагин, А. Шень.// [[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf|Часть 1. Начала теории множеств]] // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2002. — 128 с. * //Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. // Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с. \\ {{tag>"Типы функций" "Общие понятия о функциях"}}