Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Гомология (математика)====== **Гомоло́гии** — одно из основных понятий [[алгебраическая-топология|алгебраической топологии]]. Даёт возможность строить алгебраический объект ([[группа-математика-|группу]] или [[кольцо-математика-|кольцо]]), который является [[топологический-инвариант|топологическим инвариантом]] пространства. Замкнутая линия на поверхности гомологична нулю, если она является границей некоторого её участка. Пример: на сфере любая замкнутая линия гомологична нулю, группа {\displaystyle H_{1}(S^{2})=0}. На [[тор-поверхность-|торе]] существуют замкнутые линии, не гомологичные нулю, группа {\displaystyle H_{1}(S^{1}\times S^{1})} не тривиальна. =====Симплициальные гомологии===== Симплициальные гомологии определяются для полиэдров путём построения симплициального комплекса. =====Сингулярные гомологии===== Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно. Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными. Пусть {X} — любое [[топологическое-пространство|топологическое пространство]]. //Сингулярный симплекс// размерности {k} — это пара {(\Delta ^{k},f)} где {\Delta ^{k}} — это [[стандартный-симплекс|стандартный симплекс]] {\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle}, а {f} — его непрерывное отображение в {X}; {f:\Delta ^{k}\to X}. Группу //сингулярных цепей// определим как множество формальных линейных комбинаций: {c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})} с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами {z_{i}}. При этом для линейного отображения {s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta _{k}} определяемого перестановкой {\pi} точек {(a_{0},a_{1},...~a_{k})} полагают {(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })}. //Граничный оператор// {\partial} определяется на сингулярном симплексе {(\Delta _{k},f)} так: {\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}, где {\Delta _{k-1}} стандартный {(k-1)}-мерный симплекс, а {f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}, где {\epsilon _{i}} — это его отображение на {i}-ю грань стандартного симплекса {\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}. Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что {\partial \partial=0}. Как и раньше вводятся понятия //сингулярных циклов// — таких цепей {c_{k}}, что {\partial {c_{k}}=0}, и //границ// — цепей {c_{k}=\partial {c_{k+1}}} для некоторого {c_{k+1}}. [[факторгруппа|Факторгруппа]] группы циклов по группе границ {H_{k}=Z_{k}/B_{k}} называется //группой сингулярных гомологий//. ====Пример==== Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки {X=*}. Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение {f^{k}:\Delta ^{k}\to *}. Граница симплекса {\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})}, где все {f_{i}^{k-1}} равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим {f^{k-1}}). Значит: {\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}, если {k} нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);{\partial (\Delta ^{k},f^{k})=(\Delta ^{k-1},f^{k-1})}, если {k\not=0} и четно;{\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}, если {k=0}. Отсюда получаем для нулевой размерности: {Z_{0}=C_{0}=\mathbb {Z} ;\quad B_{0}=0;\quad H_{0}=\mathbb {Z}}. Для нечётной размерности {k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=\mathbb {Z} ;\quad B_{k}=\mathbb {Z} ;\quad H_{k}=0}. Для чётной размерности {k=2n\not=0:Z_{k}=0;\quad B_{k}=0;\quad H_{k}=0}. То есть группа гомологий равна {\mathbb {Z}} для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей. Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными. ====История==== Сингулярные гомологии были введены [[лефшец-соломон|Лефшецом]]. =====Гомологии с коэффициентами в произвольных группах===== Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы {G}. То есть, вместо групп {C_{k}(X)} рассматривать группы {\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}. Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства {X} с коэффициентами в группе {G} обозначаются {H_{k}(X;G)}. Обычно применяют группу действительных чисел {\mathbb {R}}, рациональных чисел {\mathbb {Q}}, или циклическую группу вычетов по модулю {m} — {\mathbb {Z} _{m}}, причём обычно берётся {m=p} — простое число, тогда {\mathbb {Z} _{p}} является [[поле-алгебра-|полем]]. Другое описание. Применяя к комплексу {\displaystyle C_{*}(X)} {\displaystyle \ldots {\leftarrow {}}C_{n-1}(X){\leftarrow {}}C_{n}(X){\leftarrow {}}C_{n+1}(X){\leftarrow {}}\ldots } [[функтор-математика-|функтор]] {\displaystyle \cdot \otimes G}, мы получим комплекс {\displaystyle \ldots {\leftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\leftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\leftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\leftarrow {}}\ldots }, гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в {G}. =====Когомологии===== Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу {G}. То есть, пространство коцепей {C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}. Граничный оператор {\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}} определяется по формуле: {(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)} (где {x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}}). Для такого граничного оператора также выполняется {\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}, а именно{(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}. Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия [[коцикл|коциклов]] {Z^{k}(X,G)=Ker\delta ^{k}}, кограниц {B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}} и когомологий {H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}. Понятие когомологии двойственно понятию гомологии. Если {G} — [[кольцо-алгебра-|кольцо]], то в группе когомологий {H^{*}(X,G)} определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или {\cup}-npоизведение), превращающее эту группу в [[градуированное-кольцо|градуированное кольцо]], называемое //кольцо когомологий//. В случае, когда {X} — [[дифференцируемое-многообразие|дифференцируемое многообразие]], кольцо когомологий {H^{*}(X,\mathbb {R} )} может быть вычислено при помощи [[дифференциальная-форма|дифференциальных форм]] на {X} (см. [[когомологии-де-рама#-d1-82-d0-b5-d0-be-d1-80-d0-b5-d0-bc-d0-b0-d0-b4-d0-b5-d0-a0-d0-b0-d0-bc-d0.b0|Теорема де Рама]]). Понятие когомологии было введено [[александер-джеймс-уэдделл|Александером]] и [[колмогоров-андрей-николаевич|Колмогоровым]]. =====Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность===== Возьмём случай двух топологических пространств {Y\subset X}. Группа цепей {C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)} (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе {G}). //Относительными цепями// будут называться элементы [[факторгруппа|факторгруппы]] {C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}. Так как граничный оператор {d} на группе гомологий подпространства {Y} переводит {d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}, то можно определить на факторгруппе {C_{k}(X,Y)} граничный оператор (мы его обозначим так же) {d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}. Те относительные цепи, которые он переводит в {\displaystyle 0} будут называться //относительными циклами// {Z_{k}(X,Y)}, а цепи, которые являются его значениями — //относительными границами// {B_{k}(X,Y)}. Так как {dd=0} на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда {B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}. Факторгруппа {H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)} называется //группой относительных гомологий//. Так как каждый абсолютный цикл в {H_{k}(X)} является также и относительным то имеем гомоморфизм {j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)} По функториальному свойству вложение {i_{k}:Y\to X} приводит к гомоморфизму {i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}. В свою очередь можно построить гомоморфизм {d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}, который мы определим следующим образом. Пусть {c_{k}\in C_{k}(X,Y)} — относительная цепь, которая определяет цикл из {H_{k}(X,Y)}. Рассмотрим её как абсолютную цепь в {C_{k}(X)} (с точностью до элементов {C_{k}(Y)}). Так как это относительный цикл, то {d_{k}c} будет равен нулю с точностью до некоторой цепи {c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}. Положим {d_{*k}} равным классу гомологий цепи {c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}. Если мы возьмём другую абсолютную цепь {c'_{k}\in C_{k}(X)}, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь {c=c'+u}, где {u\in C_{k}(Y)}. Имеем {d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u}, но так как {d_{k}u} является границей в {Z_{k-1}(Y)} то {d_{k}c} и {d_{k}c'} определяют один и тот же элемент в группе гомологий {H_{k-1}(Y)}. Если взять другой относительный цикл {c''}, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий {c=c''+b}, где {b} — относительная граница, то в силу того, что {b} граница для относительных гомологий {b=d_{k+1}x+v}, где {v\in C_{k}(Y)} , отсюда {d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}, но {dd=0}, а {d_{k}v} — граница в {Z_{k-1}(Y)}. Поэтому класс гомологий {d_{*k}c_{k}} определен однозначно. Ясно по линейности оператора {d_{*k}}, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы: {i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)};{j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)} и{d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}; {...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...} Можно доказать, что эта последовательность [[точная-последовательность|точна]], то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма. =====Аксиомы Стинрода — Эйленберга===== Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например [[клеточные-гомологии|клеточные гомологии]], [[когомологии-александрова-чеха|Когомологии Александрова — Чеха]], [[когомологии-де-рама|когомологии де Рама]] и т. д. [[стинрод-норман|Стинрод]] и [[эйленберг-самуэль|Эйленберг]] определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар {D} топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам: - Если {(X,Y)\in D,} то {(X,X)\in D,} {(X,\emptyset )\in D,} {(Y,Y)\in D} и {\displaystyle (Y,\emptyset )\in D}. - Если {\displaystyle (X,Y)\in D}, то и {\displaystyle (X\times I,Y\times I)\in D}, где {I} — замкнутый интервал [0,1]. - {\displaystyle (*,\emptyset )\in D}, где {*} — одноточечное пространство. В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа {H_{k}(X,Y)} и непрерывному отображению пар {f\colon (X,Y)\to (X',Y')} соответствует гомоморфизм {f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')} (Пространство {X} отождествляется с парой {(X,\emptyset )}), а {H_{k}(X)} с {H_{k}(X,\emptyset )}), причём выполняются следующие аксиомы: - Тождественному отображению пары {id} соответствует тождественный гомоморфизм {\displaystyle id_{*k}}. - {(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}} (//функториальность//) - Определен граничный гомоморфизм {\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}, причём если {f\colon (X,Y)\to (X',Y')}, то для соответствующего гомоморфизма {f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')} верно {d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}} для любой размерности {k}. - Пусть {i\colon Y\to X} и {j\colon X\to (X,Y)} — вложения, {i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)} и {j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)} — соответствующие гомоморфизмы, {d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)} — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность\\ {\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots}\\ точна (//аксиома точности//). - Если отображения {f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')} [[гомотопия|гомотопны]], то соответствующие гомоморфизмы равны {f_{*k}=g_{*k}} для любой размерности {k} (//аксиома гомотопической инвариантности//). - Пусть {U\subset X} — открытое подмножество {X}, причём его замыкание содержится во внутренности множества {Y}, тогда если пары {(X\setminus U,Y\setminus U)} и {(X,Y)} принадлежат допустимому классу, то для любой размерности {k} вложению {(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)} соответствует изоморфизм {H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)} (//аксиома вырезания//). - Для одноточечного пространства {H_{k}(*)=0} для всех размерностей {k>0}. Абелева группа {G=H_{0}(*)} называется группой коэффициентов (//аксиома размерности//). Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе {G} их отображения и граничный гомоморфизм {d_{*}} удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными. Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична. Необходимо только иметь в виду, что отображению {f\colon (X,Y)\to (X',Y')} соответствует {f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)} (//контравариантность//) и что кограничный гомоморфизм {\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)} увеличивает размерность. =====Экстраординарные гомологии===== В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные. Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей {k>0}, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются [[k-теория|K-теория]] [[атья-майкл-фрэнсис|Атьи]] (надо отметить важный вклад в эту теорию [[хирцебрух-фридрих|Хирцебруха]], [[ботт-рауль|Ботта]] и [[адамс-джон-фрэнк|Адамса]]) и теория [[бордизм|бордизмов]] [[том-рене|Р. Тома]]. =====См. также===== * [[гомологическая-алгебра|Гомологическая алгебра]] * [[гомотопия|Гомотопия]] * [[фундаментальный-класс|Фундаментальный класс]] =====Литература===== * //Вик Дж. У.// Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2005 * //Дольд А.// Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976 * //Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.// Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984 * //Зейферт Г., Трельфалль В.// Топология. — Ижевск: РХД, 2001 * //Лефшец С.// Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949 * //Новиков П. С.// Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 * //Прасолов В. В.// Элементы теории гомологий. — М.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2006 * //Свитцер Р. М.// Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985 * //Спеньер Э.// Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971 * //Стинрод Н., Эйленберг С.// Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958 * //Фоменко А. Т., Фукс Д. Б.// Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989 {{tag>"Алгебраическая топология" "Гомологическая алгебра"}}