Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Группа (математика)======
**Гру́ппа** в [[математика|математике]] — [[множество]], на котором определена [[ассоциативная-операция|ассоциативная]] бинарная операция, причём для этой операции имеется [[нейтральный-элемент|нейтральный элемент]] (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет [[обратный-элемент|обратный]]. Ветвь [[общая-алгебра|общей алгебры]], занимающаяся группами, называется [[теория-групп|теорией групп]]((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.)).
Один из примеров группы — множество [[целое-число|целых чисел]], снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, число с противоположным знаком является обратным элементом, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры — множество [[вещественное-число|вещественных чисел]] с операцией сложения, множество вращений [[плоскость-математика-|плоскости]] вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.
Группа фундаментально родственна понятию [[симметрия|симметрии]] и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, [[группа-симметрии|группа симметрии]] отражает свойства [[геометрия|геометрического]] объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как [[точечная-группа-симметрии|точечные группы симметрии]], помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; [[группа-пуанкаре|группа Пуанкаре]] характеризует симметрию физического [[пространство-время|пространства-времени]], а [[специальная-унитарная-группа|специальные унитарные группы]] применяются в [[стандартная-модель|стандартной модели]] [[физика-элементарных-частиц|физики элементарных частиц]]((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9-14. — 288 с. — 11 800 экз.)).
Понятие группы ввёл [[эварист-галуа|Эварист Галуа]], изучая [[многочлен|многочлены]] в [[1830-е-годы|1830-е годы]]((//Israel Kleiner.// The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // [[mathematics-magazine|Mathematics Magazine]] : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312|10.2307/2690312]].)).
Современная теория групп является активным разделом математики((Только в 2005 году, согласно данным [[mathscinet|MathSciNet]], было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области //Group theory and generalisations//.)). Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в [[классификация-простых-конечных-групп|классификации простых конечных групп]], которая была завершена в [[1981-год-в-науке|1981 году]]: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве((//Горенстейн Д.// Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.)). С середины 1980-х годов значительное развитие получила [[геометрическая-теория-групп|геометрическая теория групп]], изучающая [[порождающее-множество-группы|конечно-порождённые группы]] как геометрические объекты.
=====Определение=====
Непустое множество //G// с заданной на нём [[бинарная-операция|бинарной операцией]] {*}: {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } называется группой {\displaystyle (\mathrm {G} ,*)}, если выполнены следующие аксиомы:
- **[[ассоциативность-математика-|ассоциативность]]**: {\forall (a,b,c\in G):(a*b)*c=a*(b*c)};
- **наличие нейтрального элемента**: {\exists e\in G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)};
- **наличие обратного элемента**: {\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)}.
Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования **операции обратной * **:
{\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\wedge (y*a=b)}.
При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования [[нейтральный-элемент|нейтрального]] и [[обратный-элемент|обратного элементов]] достаточно наличия [[нейтральный-элемент|левого нейтрального]] элемента и [[обратный-элемент|левого обратного]] элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами(([[#CITEREF.D0.A1.D0.B0.D0.B3.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D1.872010|Сагалович, 2010]], с. 50.)).
====Связанные определения====
* В общем случае от группы не требуется выполнения свойства //[[коммутативность|коммутативности]]//.
* Пары элементов {a,\;b}, для которых выполнено равенство {a*b=b*a}, называются //перестановочными// или //коммутирующими//.
* Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется //[[центр-группы|центром группы]]//.
* Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется //[[абелева-группа|коммутативной]]// или //[[абелева-группа|абелевой]]//.
* //[[подгруппа|Подгруппа]]// — подмножество {H} группы {G}, которое является группой относительно операции, определённой в {G}.
* //Порядок группы// {(G,*)} — [[мощность-множества|мощность]] {G} (то есть число её элементов).
* Если множество {G} конечно, то группа называется [[конечная-группа|конечной]].
* //Гомоморфизмы групп// — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп {f:(G,*)\to (H,\times )} называется [[гомоморфизм|гомоморфизмом]], если удовлетворяет условию {f(a*b)=f(a)\times f(b)}.
* Две группы называются //изоморфными//, если существуют гомоморфизм групп {f:(G,*)\to (H,\times )} и гомоморфизм групп {g : (H,\times) \to (G,*)}, такие что {f(g(a))=a} и {g(f(b))=b}, где {b\in G} и {a\in H}. В этом случае эти гомоморфизмы называются //изоморфизмами//.
* Для элемента {g\in G} //левый смежный класс// по подгруппе {H} — множество {gH=\{gh|h\in H\}}, //правый смежный класс// по подгруппе {H} — множество {Hg=\{hg|h\in H\}}.
* //[[нормальная-подгруппа|Нормальная подгруппа]]// — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого {g\in G}, {gH=Hg}.
* //[[факторгруппа|Факторгруппа]]// — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.
=====Стандартные обозначения=====
====Мультипликативная запись====
Обычно групповую операцию называют (абстрактным) //умножением//; тогда применяется //мультипликативная запись//:
* результат операции называют //произведением// и записывают {\displaystyle a\cdot b} или {\displaystyle ab};
* нейтральный элемент обозначается «{\displaystyle 1}» или {\displaystyle e} и называется //единицей//;
* обратный к {\displaystyle a} элемент записывается как {\displaystyle a^{-1}}.
Если групповая операция именуется //умножением//, то саму такую группу {\displaystyle \mathrm {G} } при этом называют //мультипликативной// и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: {\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}.
Кратные произведения {\displaystyle aa}, {\displaystyle aaa}, {...} записывают в виде натуральных степеней {a^2}, {\displaystyle a^{3}},{...}((Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности)). Для элемента {a} корректно((Корректность вытекает из единственности обратного элемента.)) определена [[целое-число|целая]] степень, записывается следующим образом: {a^{0}=e}, {\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}.
====Аддитивная запись====
В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) //сложение// и //записывается аддитивно//:
* пишут «{\displaystyle a+b}» и называют получившийся элемент //суммой// элементов {\displaystyle a} и {\displaystyle b};
* нейтральный элемент обозначают как «{\displaystyle 0}» и называют его //нулём//;
* обратный элемент к {\displaystyle a} обозначают как «{\displaystyle -a}» и называют его //противоположным// к {\displaystyle a} элементом;
* запись сокращают следующим образом: {\displaystyle a+(-b)=a-b};
* выражения вида {\displaystyle a+a}, {\displaystyle a+a+a},{\displaystyle -a-a} обозначают символами {2a}, {\displaystyle 3a}, {\displaystyle -2a}.
Если групповая операция именуется //сложением//, то саму такую группу {\displaystyle \mathrm {G} } при этом называют //аддитивной// и при полном способе записи обозначают так: {\displaystyle (\mathrm {G} ,+)}((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.)).
=====Примеры=====
Существует гигантское количество примеров групп, а также их применений в современном мире. Множество [[целое-число|целых чисел]], связанные операцией сложения, является аддитивной группой или группой по сложению. Множество [[рациональное-число|рациональных чисел]], не включающее {\displaystyle 0}, с операцией умножения является мультипликативной группой. Эти группы положили начало возникновению важнейших конструкций в разделе [[общая-алгебра|общей алгебры]]. Группы применяются в различных областях математики. Математические объекты часто связываются с группами для дальнейшего изучения их свойств. Например, [[пуанкаре-анри|Анри Пуанкаре]] основал [[топология|топологию]], введя понятие [[фундаментальная-группа|фундаментальной группы]]((//Hatcher Allen.// Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — [[служебная-источники-книг/9780486458687|ISBN 978-0-486-45868-7]].)). Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в [[криптография|криптографии]], которая опирается на [[вычислительная-теория-групп|вычислительную теорию групп]] и знания в области [[алгоритм|алгоритмов]].
[{{wiki:250px-clock-group-svg.png|Часы показывают время по модулю //12//.}}][[сравнение-по-модулю|В модульной арифметике]] складывают два целых числа, а полученную сумму делят на целое положительное число, называемое впоследствии модулем. Результатом модульной операции является остаток от деления. Для любого модуля {n} множество целых чисел от {\displaystyle 0} до {n-1} образует группу по сложению. Обратным элементом к {a} является число {\displaystyle a^{-1}=n-a}, нейтральный элемент — {\displaystyle 0}. Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом((//М. Вельшенбах.// Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и С++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — [[служебная-источники-книг/589392083x|ISBN 5-89392-083-X]].)).
Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как [[физика]], [[химия]] и [[информатика]].
* **[[целые-числа|Целые числа]] с операцией сложения.** {(\mathbb{Z},+)} — коммутативная группа с нейтральным элементом {\displaystyle 0}. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, {a=2}, тогда {\displaystyle a\cdot b=1} то есть {b=1/2}. Обратный элемент не является целым числом((//Ольшанский А. Ю.// Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — [[служебная-источники-книг/5020139165|ISBN 5-02-013916-5]].)).
* **Положительные [[рациональные-числа|рациональные числа]] с операцией умножения.** Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица((//Ольшанский А. Ю.// Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — [[служебная-источники-книг/5020139165|ISBN 5-02-013916-5]].)).
* **[[свободная-группа|Свободная группа]] с двумя образующими** ({F_{2}}) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов {\displaystyle a}, {a^{{-1}}}, {b} и {b^{{-1}}} таких, что {\displaystyle a} не появляется рядом с {a^{{-1}}} и {b} не появляется рядом с {b^{{-1}}}. Операция умножения таких слов — это просто [[конкатенация|соединение]] двух слов в одно с последующим сокращением пар {\displaystyle aa^{-1}}, {\displaystyle a^{-1}a}, {\displaystyle bb^{-1}} и {b^{{-1}}b}((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.)).
* **[[симметрическая-группа|Симметрическая группа]].** [[множество|Множество]] всех [[биекция|биекций]] конечного множества в себя с операцией [[композиция-отображений|композиции]] является конечной группой, которая называется [[симметрическая-группа|симметрической группой]], или **группой перестановок**. Мощность конечной симметрической группы {S_{n}} для множества из {n} элементов равна {n!}. При {n\geq 3} эта группа не является абелевой((//Курош А. Г.// Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.)). Любая [[конечная-группа|конечная группа]] является подгруппой некоторой симметрической группы ([[теорема-кэли-теория-групп-|теорема Кэли]])((//Ольшанский А. Ю.// Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — [[служебная-источники-книг/5020139165|ISBN 5-02-013916-5]].))((//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.)).
[{{wiki:170px-cyclic-group-svg.png|6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу}}]
* **[[циклическая-группа|Циклические группы]]** состоят из степеней {\displaystyle =\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}}одного элемента {\displaystyle a}. Элемент {\displaystyle a} называется //**образующим**// циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из {n} [[корни-из-единицы|комплексных корней из единицы]], то есть группа [[комплексное-число|комплексных чисел]] {z}, удовлетворяющих условию {|z^n|=1} и операции умножения комплексных чисел((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].)). Мультипликативная конечная группа {\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )} также является циклической. Например, {3} является образующим элементом группы {\displaystyle \mathrm {G} } при {n=5}:
{\begin{align}
3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\
3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\
3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\
3^4 &\equiv 1 \pmod 5\,
\end{align}}
* **[[группа-кубика-рубика|Группа кубика Рубика]]** — подгруппа симметрической группы {S_{{48}}}, элементы которой соответствуют преобразованиям [[кубик-рубика|кубика Рубика]]. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент((//Schönert, Martin.// [[http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html|Analyzing Rubik's Cube with GAP]] (англ.). Проверено 19 июля 2013. [[http://www.webcitation.org/6JOcrLXVG|Архивировано из первоисточника 5 сентября 2013]].)).
* **[[группа-галуа|Группы Галуа]].** Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. Например, решение квадратного уравнения {ax^{2}+bx+c=0} даёт корни: {x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.} Подобная формула есть для уравнения [[кубическое-уравнение|третьей]] и [[уравнение-четвёртой-степени|четвёртой]] степени, но не существует для полиномиального уравнения степени {5} и выше((//Постников М. М.// Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.)).
=====Простейшие свойства=====
* Для каждого элемента {a} обратный элемент {a^{{-1}}} единственен.
* Нейтральный элемент единственен:
* //Если// {\displaystyle e_{1},e_{2}}//— нейтральные, то// {\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}}.
* {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}.
* {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}.
* {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}.
* {\displaystyle e^{n}=e}, для любого {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.)).
* {(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}}.
* Верны //законы сокращения//:
{c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b},{a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b}.
* Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.)).
* Группа содержит единственное решение {\displaystyle x} любого уравнения {\displaystyle x\cdot c=b} или {\displaystyle c\cdot x=b}; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление»((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И.// Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.)).
* Пересечение двух подгрупп группы {\displaystyle \mathrm {G} } есть подгруппа группы {\displaystyle \mathrm {G} }(([[#CITEREF.D0.A1.D0.B0.D0.B3.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D1.872010|Сагалович, 2010]], с. 56.)).
* [[теорема-лагранжа-теория-групп-|Теорема Лагранжа]]: если {\displaystyle \mathrm {G} } — группа конечного порядка {\displaystyle g}, то порядок {\displaystyle g_{1}} любой её подгруппы {\displaystyle \mathrm {G_{1}} } является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок((//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.)).
* Для определения числа подгрупп в группе используются [[теорема-лагранжа-теория-групп-|теорема Лагранжа]] и [[теоремы-силова|теоремы Силова]].
=====Способы задания группы=====
Группу можно задать:
* С помощью [[порождающее-множество-группы|порождающего множества]]((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.// Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.));
* [[факторгруппа|Факторгруппой]] {\displaystyle G/H}, где {\displaystyle G} — некоторая группа и {\displaystyle H} — её [[нормальная-подгруппа|нормальная подгруппа]]((//Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.// Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.));
* [[полупрямое-произведение|Полупрямым произведением]] двух групп и, в частности,
* //Прямым произведением// двух групп {\displaystyle (G,\cdot )} и {\displaystyle (H,\cdot )}, то есть множеством {\displaystyle G\times H} пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: {\displaystyle (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})}((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].));
* [[свободное-произведение|Свободным произведением]] двух групп: свободное произведение групп {\displaystyle G} и {\displaystyle H} есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих {\displaystyle G} и {\displaystyle H}, a система соотношений есть объединение систем соотношений {\displaystyle G} и {\displaystyle H}((//Ольшанский А. Ю.// Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — [[служебная-источники-книг/5020139165|ISBN 5-02-013916-5]].)).
=====История=====
Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений [[алгебраическое-уравнение|алгебраических уравнений]] степени выше четырёх. Французский математик 19-го века [[галуа-эварист|Эварист Галуа]], доработав исследования [[руффини-паоло|Руффини]] и [[лагранж-жозеф-луи|Лагранжа]], дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения [[симметрическая-группа|группы симметрии]] его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам [[корень-многочлена|корней]]. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно [[лиувилль-жозеф|Лиувиллем]] в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, [[коши-огюстен-луи|Коши]] подробно исследовал группы перестановок((//Israel Kleiner.// The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // [[mathematics-magazine|Mathematics Magazine]] : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312|10.2307/2690312]].)). Впервые понятие конечной группы вводит [[кэли-артур|Артур Кэли]] в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» ([[английский-язык|англ.]] //"On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1"//)((Cayley (1854) "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1", //Philosophical Magazine//, 4th series, **(42) : 40–47.**)).
[[геометрия|Геометрия]] — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «[[университет-эрлангена-нюрнберга|Эрлангенской]] программы» немецкого математика [[клейн-феликс|Феликса Клейна]]. После возникновения новых разделов геометрии, таких как [[геометрия-лобачевского|гиперболическая]] и [[проективная-геометрия|проективная геометрии]], Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия [[группа-ли|группы Ли]] в математику в 1884 году((//Israel Kleiner.// The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // [[mathematics-magazine|Mathematics Magazine]] : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312|10.2307/2690312]].)).
Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — [[теория-чисел|теория чисел]]. Некоторые [[абелева-группа|абелевы группы]] были неявно использованы в работе [[гаусс-карл-фридрих|Гаусса]] «Арифметические исследования» (1798). В 1847 году [[куммер-эрнст-эдуард|Эрнст Куммер]] сделал первые попытки доказать [[великая-теорема-ферма|Великую теорему Ферма]] с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году [[кронекер-леопольд|Кронекер]] обобщил работы Кумера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе((//Israel Kleiner.// The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // [[mathematics-magazine|Mathematics Magazine]] : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312|10.2307/2690312]].)).
Обособление теории групп началось с работы [[жордан-мари-энмон-камиль|Камиля Жордана]] «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870)((//Wussing, Hans.// The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — [[нью-йорк|Нью-Йорк]]: [[dover-publications|Dover Publications]], 2007. — P. 154. — [[служебная-источники-книг/9780486458687|ISBN 978-0-486-45868-7]].)). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа [[фробениус-фердинанд-георг|Фробениуса]] и [[бёрнсайд-уильям|Бёрнсайда]] о представлении [[конечная-группа|конечных групп]], модульная теория представлений Ричарда Браура и записи [[шур-исай|Шура]]. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли [[вейль-герман|Вейль]] и [[картан-анри|Картан]]. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория [[алгебраическая-группа|алгебраических групп]], впервые сформулированная [[шевалле-клод|Клодом Шевалле]], позднее упоминаемая в работах [[борель-арман|Бореля]] и [[титс-жак|Титса]]((//Israel Kleiner.// The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // [[mathematics-magazine|Mathematics Magazine]] : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.2307%2F2690312|10.2307/2690312]].)).
В 1960—61 учебном году в [[чикагский-университет|Чикагском университете]] проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, [[томпсон-джон-григгс|Джон Томпсон]] и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели [[классификация-простых-конечных-групп|теорему о классификации всех простых конечных групп]] в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики((//Горенстейн Д.// Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.))((//Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov// [[http://www.ams.org/notices/200507/fea-feit.pdf|Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004)]] (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728-735.))((//Wilson, Robert A.// The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: [[springer-verlag|Springer-Verlag]], 2009. — P. 2-5. — [[служебная-источники-книг/9781848009875|ISBN 978-1-84800-987-5]]. — [[идентификатор-цифрового-объекта|DOI]]:[[https://dx.doi.org/10.1007%2F978-1-84800-988-2|10.1007/978-1-84800-988-2]])).
=====Вариации и обобщения=====
* [[магма-алгебра-|Группоид]] — множество с заданной на нём [[бинарная-операция|бинарной операцией]]((//Белоусов В. Д.// Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.)).
* [[квазигруппа-математика-|Квазигруппа]] — [[группоид-алгебра-|группоид]], состоящий из некоторого множества {\displaystyle Q} и бинарной операции {\displaystyle \cdot }, такой что для любых {\displaystyle a,b\in Q} найдутся единственные элементы {\displaystyle x} и {\displaystyle y}, такие что {\displaystyle a\cdot x=b} и {\displaystyle y\cdot a=b}((//Белоусов В. Д.// Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.)).
* [[полугруппа|Полугруппа]] — [[алгебраическая-система|алгебраическая система]] с заданной на ней [[ассоциативная-операция|ассоциативной]] бинарной операцией. Множество [[натуральное-число|натуральных чисел]] с операцией сложения образуют аддитивную полугруппу натуральных чисел((//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.)).
* Множество {\displaystyle G} с заданной на нём [[бинарная-операция|бинарной операцией]] {\displaystyle \cdot }, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется [[моноид|моноидом]]. Множество натуральных чисел с нулём образуют аддитивный моноид натуральных чисел((//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.)).
=====Группы с дополнительной структурой=====
Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке [[теория-категорий|теории категорий]] это — [[групповой-объект|групповые объекты]] в [[категория-математика-|категории]]; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых [[морфизм|морфизмами]]), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является [[множество|множеством]], так что группа есть групповой объект в [[теория-категорий|категории множеств]] //**Set**// (морфизмы в этой категории — [[отображение|отображения]] множеств)((//Букур И., Деляну А.// Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.)).
====Кольца====
**Кольцо** — [[множество]] {\displaystyle K}, на котором определены [[бинарная-операция|бинарные операции]] [[коммутативная-операция|коммутативного]] сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения //К// образует группу, а умножение связано со сложением [[дистрибутивность|дистрибутивным]] законом.
Кольцо называют коммутативным и [[ассоциативная-операция|ассоциативным]], если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца {\displaystyle 1} называется единицей, если выполнено условие: {\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}, где {\displaystyle a} — любой элемент кольца.
Числовые множества [[целое-число|Z]], [[рациональное-число|Q]], [[вещественное-число|R]] являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество [[вектор-математика-|векторов]] с операцией [[векторное-произведение|векторного умножения]] является антикоммутативным кольцом (то есть {\displaystyle a\cdot b=-b\cdot a}) в силу свойств векторного умножения((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].)): {\displaystyle a\times b+b\times a=0}.
====Поля====
**Поле** — это коммутативное ассоциативное кольцо {F} с единицей, причём относительно сложения {F} образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества [[рациональное-число|рациональных]] и [[вещественное-число|вещественных]] чисел являются полями. В любом поле {\displaystyle a\cdot b=0} только при {\displaystyle a=0} и/или {\displaystyle b=0}((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].)).
====Топологические группы====
Некоторые [[топологическое-пространство|топологические пространства]] могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться //топологической группой//.
Именно, **топологическая группа** — это группа, являющаяся одновременно [[топологическое-пространство|топологическим пространством]], причём умножение элементов группы {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } и операция взятия обратного элемента {\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } оказываются [[непрерывное-отображение|непрерывными отображениями]] в используемой топологии((//Бурбаки Н.// Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969. С. 12.)). Топологические группы являются [[групповой-объект|групповыми объектами]] в [[теория-категорий|топологических пространствах]] //**Top**//((//Букур И., Деляну А.// Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.)).
Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа [[действительные-числа|действительных чисел]] {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}, мультипликативная группа ненулевых [[действительные-числа|действительных чисел]] {\displaystyle (\mathbb {R^{*}} ,\cdot )}, [[полная-линейная-группа|полная линейная группа]] {\displaystyle GL(n)} порядка {n}, [[специальная-линейная-группа|специальная линейная группа]] {\displaystyle SL(n)} порядка {n}, [[ортогональная-группа|ортогональная группа]] {\displaystyle O(n)} порядка {n}, [[специальная-ортогональная-группа|специальная ортогональная группа]] {\displaystyle SO(n)} порядка {n}, [[унитарная-группа|унитарная группа]] {\displaystyle U(n)}, [[специальная-унитарная-группа|специальная унитарная группа]] {\displaystyle SU(n)} порядка {n}((//Рохлин В. А., Фукс Д. Б.// Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977. С. 268—271.)).
====Группы Ли====
**Группа Ли** (в честь [[софус-ли|Софуса Ли]]) — это группа, которая одновременно является [[дифференцируемое-многообразие|дифференцируемым многообразием]] над полем //K// (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } и операция взятия обратного элемента {\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } оказываются [[гладкая-функция|гладкими отображениями]] (в комплексном случае требуется [[голоморфная-функция|голоморфность]] введённых отображений). При этом всякая комплексная {n}-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности {\displaystyle 2n}((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].)).
Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.
Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных [[симметрия|симметрий]]; так, группу Ли образуют((//Кострикин А. И., Манин Ю. И.// Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.)) [[изометрия-математика-|изометрии]] вида {\displaystyle \mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E} }, где {\displaystyle \mathrm {E} } — [[евклидово-пространство|евклидово точечное пространство]]. Полученная группа, обозначаемая {\displaystyle Is(\mathrm {E} )}((//Дьедонне Ж.// Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.)), является //подгруппой// другой группы Ли — [[аффинное-преобразование|аффинной группы]] пространства {\displaystyle \mathrm {E} }, обозначаемой {\displaystyle Aff(\mathrm {E} )}((//Долгачёв И. В., Широков А. П.// Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.)).
Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в [[дифференциальная-геометрия-и-топология|дифференциальной геометрии и топологии]]. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике((//Винберг Э. Б.// Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — [[служебная-источники-книг/5886880607|ISBN 5-88688-060-7]].)).
=====См. также=====
* [[алгебраические-структуры|Алгебраические структуры]]
* [[словарь-терминов-теории-групп|Словарь терминов теории групп]]
* [[группа-многогранника|Группа многогранника]]
* [[группа-клейна|Группа Клейна]]
=====Литература=====
====Популярная литература====
* //Александров П. С.// [[http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/groups.htm|Введение в теорию групп]]. — Т. 7. — ([[http://www.mccme.ru/free-books/ilib.htm#bmkvant|«Библиотечка Квант»]]).
* //Садовский Л., Аршинов М.// [[http://kvant.mccme.ru/1976/10/gruppy.htm|Группы]] // [[квант-журнал-|Квант]]. — 1976. — № 10.
* Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: [[педагогика-издательство-|Педагогика]], 1985. — С. 88-94. — 352 с.
====Научная литература====
* //[[q21789631|Сагалович Ю. Л.]]// [[http://iitp.ru/upload/content/790/algebcodes.pdf|Введение в алгебраические коды]] — 2-е изд. — М.: [[институт-проблем-передачи-информации-имени-а-а. харкевича ран|ИППИ РАН]], 2010. — 320 с. — [[служебная-источники-книг/9785901158142|ISBN 978-5-901158-14-2]]
* //Белоногов В. А.// Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
* //Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.// Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
* //Кострикин А. И.// Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
* //Курош А. Г.// Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
* //Холл М.// Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
* //Gorenstein D.// Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
* //Huppert B.// Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.
{{tag>"Теория групп" Симметрия}}