Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Изоморфизм====== {| | wiki:svg:graph-isomorphism-a.svg wiki:svg:graph-isomorphism-b.svg |- | | Пример двух изоморфных графов. Изоморфизм ставит в соответствие вершинам одного графа вершины другого графа того же цвета: две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда вершины тех же цветов соединены ребром в другом графе. |} **Изоморфи́зм** (от [[древнегреческий-язык|др.-греч.]] ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах [[математика|математики]]. Изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой [[алгебраическая-система|структурой]] (например, для [[группа-математика-|групп]], [[кольцо-алгебра-|колец]], [[линейное-пространство|линейных пространств]] и т. п.). В общих чертах его можно описать так: обратимое отображение ([[биекция]]) между двумя множествами, наделёнными структурой, называется изоморфизмом, если оно сохраняет эту структуру. Если между такими структурами существует изоморфизм, то они называются **изоморфными**. Изоморфизм всегда задаёт [[отношение-эквивалентности|отношение эквивалентности]] на классе таких структур. Так, например, два [[граф-математика-|графа]] называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин). В общем случае, объекты, между которыми существует изоморфизм, являются «одинаково устроенными» в смысле этой структуры. Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество {\mathbb {R}} всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество {\mathbb R}_{+} положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение {x\mapsto \exp(x)} в этом случае является изоморфизмом. =====Общая алгебра===== В [[общая-алгебра|общей алгебре]] изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является [[гомоморфизм|гомоморфизмом]]. Ниже приводятся несколько примеров. ====Группы==== Пусть {G} и {H} — две [[группа-математика-|группы]]. [[биекция|Биекция]] {\displaystyle f:G\to H} называется изоморфизмом, если для любых {a,\;b\in G} {f(a)f(b)=f(ab)}. Если группа является [[топологическая-группа|топологической]], добавляется условие [[гомеоморфизм|гомеоморфности]] соответствующих топологических пространств.((Л. С. Понтрягин //Непрерывные группы// стр. 392)) ====Поля==== Пусть {F_{1}} и {F_{2}} — [[поле-алгебра-|поля]]. [[биекция|Биекция]] {f:F_{1}\to F_{2}} называется **изоморфизмом**, если для любых {a,b\in F_{1}} выполняется - {f(a)+f(b)=f(a+b)}, - {f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)}. =====Теория множеств===== В [[теория-множеств|теории множеств]] любая [[биекция]] является изоморфизмом. =====Изоморфизм в теории категорий===== В [[теория-категорий|теории категорий]] изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм {\varphi}, для которого существует такой морфизм {\varphi ^{{-1}}}, что композиции {\varphi ^{{-1}}\circ \varphi} и {\varphi \circ \varphi ^{{-1}}} — тождественные морфизмы. =====Теория операторов/Функциональный анализ===== Ограниченный линейный оператор {T} между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число {c} такое, что {\parallel {Tx}\parallel \ge c\parallel x\parallel} для всех векторов {x}. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что {T} является изоморфизмом тогда и только тогда, когда {T} обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое. =====Теория графов===== Граф {G} называется изоморфным графу {H}, если существует [[биекция]] {f} из множества вершин графа {G} в множество вершин графа {H}, обладающая следующим свойством: если в графе {G} есть ребро из вершины {A} в вершину {B}, то в графе {H} должно быть ребро из вершины {f(A)} в вершину {f(B)} и наоборот — если в графе {H} есть ребро из вершины {A} в вершину {B}, то в графе {G} должно быть ребро из вершины {f^{-1}(A)} в вершину {f^{-1}(B)}. В случае [[ориентированный-граф|ориентированного графа]] эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае [[взвешенный-граф|взвешенного графа]] биекция также должна сохранять вес ребра. В [[теория-вычислительной-сложности|теории вычислительной сложности]] до сих пор является открытым вопрос о сложности [[изоморфизм-графов|задачи изоморфности графов]]. На данный момент не доказана ни её принадлежность [[класс-p|классу]] {P}, ни её {NP}[[np-полная-задача|-полнота]]. =====Связанные определения===== Изоморфизм алгебраической системы на себя называется [[автоморфизм|автоморфизмом]]. =====История===== Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к [[группа-математика-|группам]] и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур. =====Вариации и обобщения===== * Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой [[николя-бурбаки|Бурбаки]] в их книге «Теория множеств» (Глава 4. Структуры). =====См. также===== * [[гомоморфизм|Гомоморфизм]] * [[конгруэнция|Конгруэнция]] * [[функция-математика-|Функция]] * [[отображение|Отображение]] =====Литература===== * //Ван дер Варден Б. Л.// [[http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b01c5ac1998137ac2817256edc019df9.djvu|Алгебра.]] СПб.: Лань, 2004, 624 стр., [[служебная-источники-книг/5811405529|ISBN 5-8114-0552-9]]. * //[[понтрягин-лев-семёнович|Понтрягин, Лев Семёнович]]//. Непрерывные группы. — М.: [[урсс|УРСС]], — 2004. — 520с. — [[служебная-источники-книг/535400957x|ISBN 5-354-00957-X]]. =====Ссылки===== * //[[земятченский-пётр-андреевич|Земятченский П. А.]]// [[эсбе/изоморфизм|Изоморфизм]] // [[энциклопедический-словарь-брокгауза-и-ефрона|Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона]] : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907. {{tag>"Общая алгебра" "Теория категорий"}}