<br />
<b>Warning</b>:  session_name(): Cannot change session name when session is active in <b>/home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php</b> on line <b>231</b><br />
<br />
<b>Warning</b>:  session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in <b>/home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php</b> on line <b>232</b><br />
<WRAP #content>
======Квазигруппа (математика)======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Квазигруппа** — [[магма-алгебра-|магма]], в которой всегда возможно [[деление-математика-|деление]]. В отличие от [[группа-математика-|группы]], квазигруппа не обязана быть [[ассоциативность-математика-|ассоциативной]]((Л. В. Сабинин, «[[http://mi.mathnet.ru/rus/ivm/y1996/i7/p77|Однородные пространства и квазигруппы]]», Изв. вузов. Матем., 1996, № 7, 77-84)).</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Определения и свойства=====
<wrap>**Квазигруппой** называют пару (//Q//, *) из [[множество|множества]] //Q// с бинарной операцией * : //Q// × //Q// → //Q//, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов //a// и //b// из //Q// найдутся единственные элементы //x// и //y// из //Q//, такие что</wrap>


  * //a// * //x// = //b//
  * //y// * //a// = //b//
<wrap>Решения этих уравнений иногда записывают так:</wrap>


  * //x// = //a// \ //b//
  * //y// = //b// / //a//
<wrap>Операции \ и / называют //левым делением// и //правым делением//.</wrap>

<wrap>Квазигруппу с [[нейтральный-элемент|единицей]] называют также **[[лупа-алгебра-|лупой]]** (от англ. loop — петля).</wrap>

<wrap>Если между элементами двух квазигрупп //Q// и //R// можно установить [[биекция|биекцию]] (то есть они совпадают как множества), говорят, что //Q// и //R// имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют [[перестановка|перестановки]] A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что</wrap>


  * (//x//, //y//) = [//x//A, //y//B]C
<wrap>(здесь (,) и [ , ] — операции в //Q// и //R// соответственно), то такие квазигруппы называют //изотопными//.</wrap>

<wrap>Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.</wrap>

<wrap>Любой [[латинский-квадрат|латинский квадрат]] является [[таблица-умножения|таблицей умножения]] ([[таблица-кэли|таблицей Кэли]]) квазигруппы.</wrap>


=====Примеры=====

  * Любая [[группа-математика-|группа]] является также и квазигруппой, так как //a// * //x// = //b// <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow }</tex> //x// = //a//<sup>−1</sup> * //b//, //y// * //a// = //b// <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow }</tex> //y// = //b// * //a//<sup>−1</sup>.
  * [[целое-число|Целые числа]] (<tex>{\mathbb {Z}}</tex>) с операцией [[вычитание|вычитания]] (−) являются квазигруппой.
  * Ненулевые [[рациональные-числа|рациональные числа]] <tex>{\mathbb {Q}}</tex> (или [[вещественные-числа|вещественные]] — <tex>{\mathbb {R}}</tex>) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
  * Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в [[кватернион|кватернионах]] является квазигруппой с единицей (лупой).
  * Любое [[векторное-пространство|векторное пространство]] над полем [[вещественные-числа|вещественных чисел]] относительно операции //x// * //y// = (//x// + //y//) / 2 образует структуру [[идемпотент|идемпотентной]], [[коммутативность|коммутативной]] квазигруппы.

=====Литература=====

  * //Белоусов В. Д.// [[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov1967ru.djvu|«Основы теории квазигрупп и луп»]] — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1967. — 224с.
  * //Sabinin L.V.// [[http://mechmath.org/books/1232|Smooth quasigroups and loops]] — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
  * //[[сабинин-лев-васильевич|Сабинин Л. В.]]// Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
  * //Сабинин Л. В., Михеев П. О.// Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
  * «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
  * //Белоусов В. Д.// Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
  * //Михеев П. О., Сабинин Л. В.// [[http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intg&paperid=173&option_lang=rus|Гладкие квазигруппы и геометрия]]. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
  * //[[курош-александр-геннадиевич|Курош А. Г.]]// Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
  * //Галкин В. М.// Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.
<wrap>\\
</wrap>

</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Общая алгебра"}}