Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Кольцо (математика)======
**Кольцо́** (также **ассоциативное кольцо**) в [[общая-алгебра|общей алгебре]] — [[алгебраическая-структура|алгебраическая структура]], в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются числа ([[целое-число|целые]], [[вещественные-числа|вещественные]], [[комплексные-числа|комплексные]]), [[функция-математика-|функции]], определенные на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на множество чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 17-19.)).
Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца((//Бельский А., Садовский Л.// [[http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm|Кольца.]] [[квант-журнал-|Квант]] № 2, 1974.)).
Кольца являются основным объектом изучения [[теория-колец|теории колец]] — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в [[алгебраическая-геометрия|алгебраической геометрии]], [[алгебраическая-теория-чисел|алгебраической теории чисел]], [[алгебраическая-k-теория|алгебраической {K}-теории]], [[теория-инвариантов|теории инвариантов]].
=====История=====
Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 60-70-е годы было построение [[делимость|теории делимости]] в общих полях [[алгебраическое-число|алгебраических чисел]]. Решение этой задачи было опубликовано [[дедекинд-юлиус-вильгельм-рихард|Р. Дедекиндом]] ("X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле", 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие [[кольцо-целых|кольца целых]] числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и [[идеал-алгебра-|идеала]]((//Erich Reck// [[http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/dedekind-foundations/|Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics]] // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01.)).
=====Определение=====
Кольцо — это [[множество]] {R}, на котором заданы две [[бинарная-операция|бинарные операции]]: {+} и {\times} (называемые **сложение** и **умножение**), со следующими свойствами, выполняющимися для любых {a, b, c \in R}:
- {a + b=b + a} — [[коммутативная-операция|коммутативность]] сложения;
- {a + (b + c)=(a + b) + c} — [[ассоциативная-операция|ассоциативность]] сложения;
- {\exists 0 \in R\ \left(a + 0=0 + a=a\right)} — существование [[нейтральный-элемент|нейтрального элемента]] относительно сложения;
- {\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)} — существование противоположного элемента относительно сложения;
- {(a \times b) \times c=a \times (b \times c)} — ассоциативность умножения;
- {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right.} — [[дистрибутивность]].
Иными словами, кольцо — это [[алгебра-универсальная-алгебра-|универсальная алгебра]] {\left(R,+,\times \right)}, такая что алгебра {\left(R,+\right)} — [[абелева-группа|абелева группа]], и операция {\times} [[дистрибутивность|дистрибутивна]] слева и справа относительно {+}.
Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:
* наличие [[нейтральный-элемент|единицы]]: {\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e=e \times a=a\right)} (//кольцо с единицей//), обычно единица обозначается 1;
* [[коммутативность]] умножения: {\forall a, b \in R \left(a \times b=b \times a\right)} (//[[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]]//);
Иногда под кольцом понимают только кольца [[единица-алгебра-|с единицей]](([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 9.)), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.))).
Вместо символа {\times} часто используют символ {\cdot}, либо вовсе его опускают.
=====Простейшие свойства=====
Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:
* относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
* для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
* нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
* {a \cdot 0=0,} то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
* {(-b)=(-1) \cdot b,} где {(-b)} — элемент, обратный к {b} по сложению;
* {(-a) \cdot b=(-ab);}
* {(-a) \cdot (-b)=(ab).}(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 273-275.))(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.))
=====Основные понятия=====
====Виды элементов кольца====
Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным). Тогда левый [[делитель-нуля|делитель нуля]] — это ненулевой элемент {a} кольца {R,} для которого существует ненулевой элемент {b} кольца {R,} такой что {ab=0.} Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале {(-1, 1).} Положим {f(x)=\max(0, x),} {g(x)=\max(0, -x).} тогда {f\ne0, g\ne0, fg=0,} то есть {f, g} являются делителями нуля. Здесь условие {f\ne0} означает, что {f} является функцией, отличной от нуля, но не означает, что {f} нигде не принимает значение {0.}(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 51-53.))
[[нильпотентный-элемент|Нильпотентный элемент]] — это элемент {a,} такой что {a^n=0} для некоторого {n > 0.} Пример: [[матрица-математика-|матрица]] {\begin{pmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{pmatrix}.} Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно(([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 11.)).
[[идемпотентный-элемент|Идемпотентный элемент]] {e} — это такой элемент, что {e\cdot e=e.} Например, идемпотентен любой [[оператор-проектирования|оператор проектирования]], в частности, следующий: {\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{pmatrix}} в кольце матриц {2\times 2.}(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 359.))
Если {a} – произвольный элемент кольца с единицей {R,} то левым обратным элементом к {a} называется {a^{-1}_{l}} такой, что {a^{-1}_{l}a=1.} Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента {a} есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что {a} обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается {a^{-1}.} Сам элемент называется обратимым элементом.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 51-53.))
====Подкольцо====
Подмножество {A\subset R} называется **подкольцом** {R,} если {A} само является кольцом относительно операций, определенных в {R.} При этом говорят, что {R} – расширение кольца {A.}(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 407.)) Другими словами, непустое подмножество {A\subset R} является подкольцом, если
* {A} является аддитивной подгруппой кольца {R,} то есть для любых {x, y \in A : x+y, -x \in A,}
* {A} замкнуто относительно умножения, то есть для любых {x, y \in A : xy \in A.}
По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.))
Подкольцо наследует свойство коммутативности.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 21.))
[[пересечение-множеств|Пересечение]] любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество {E\subset R} называется подкольцом, порождённым {E,} а {E} — системой образующих для кольца {R.} Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих {E,} удовлетворяет этому определению.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.))
Подкольцо кольца с единицей {R,} порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца {R.} Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца {R.}(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 437.))
====Идеалы====
Определение и роль идеала кольца сходны с определением [[нормальная-подгруппа|нормальной подгруппы]] в теории [[группа-математика-|групп]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 64.)).
Непустое подмножество {I} кольца {R} называется **левым идеалом**, если:
* {I} является аддитивной [[подгруппа|подгруппой]] кольца, то есть сумма любых двух элементов из {I} принадлежит {I,} а также {a\in I\Rightarrow -a\in I.}
* //I// замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого {a\in I,} {r\in R} верно {ra\in I.}
Из первого свойства следует и замкнутость //I// относительно умножения внутри себя, так что //I// является подкольцом.
Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.\\
**Двусторонний идеал** (или просто **идеал**) кольца {R} — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.
Также идеал кольца {R} может определяться как ядро некоторого [[гомоморфизм|гомоморфизма]] {\displaystyle f:R\to R'.}(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 153.))
Если {x} — элемент кольца {R,} то множество элементов вида {Rx} (соответственно, {xR}) называется левым (соответственно, правым) [[главный-идеал|главным идеалом]], порождённым {x.} Если кольцо {R} коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый {x,} обозначается {(x).} Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 430-431.)).
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется [[простое-кольцо|простым]], если [[факторкольцо]] по этому идеалу не имеет делителей нуля.\\
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется [[максимальный-идеал|максимальным]].(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 406.))
====Гомоморфизм====
**Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм)** — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца {R} в кольцо {S} — это [[функция-математика-|функция]] {\displaystyle f:R\to S,} такая что
- {f(a + b)=f(a) + f(b),}
- {\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R.}
В случае колец с единицей иногда требуют также условия {f(1)=1}(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]], с. 10.))(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 388.)).
Гомоморфизм колец называется **изоморфизмом**, если существует [[обратная-функция|обратный]] гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. [[автоморфизм|Автоморфизм]] — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 107-108.))
Если {f:R\to S} — гомоморфизм колец, множество элементов {R,} переходящих в ноль, называется [[ядро-алгебра-|ядром]] {f} (обозначается {\mathrm{ker} f}). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 432.)). С другой стороны, образ {f} не всегда является идеалом, но является подкольцом {S}(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 153.)) (обозначается {\mathrm{im} f}).
====Факторкольцо====
Определение факторкольца по идеалу аналогично определению [[факторгруппа|факторгруппы]]. Более точно, факторкольцо кольца {R} по двустороннему идеалу {I} — это множество [[класс-смежности|классов смежности]] аддитивной группы {R} по аддитивной подгруппе {I} со следующими операциями:
* {(a + I) + (b + I)=(a + b) + I,}
* {(a + I)(b + I)=(ab) + I.}
Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм {p: R \to R/I,} задаваемый как {x \mapsto x + I.} Ядром при этом является идеал {I.}
Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть {\displaystyle f:R\to R',} тогда {\mathrm{Im} f} изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма {\mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f.}(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 387-390.))
=====Некоторые особые классы колец=====
* Кольцо с единицей {1\neq 0}, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется **[[тело-алгебра-|телом]]**.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 523.))
* Коммутативное тело называется [[поле-алгебра-|полем]](([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 152.)) Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных [[идеал-алгебра-|идеалов]](([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 11.))(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 430.)).
* Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 118.))Любое поле является областью целостности, но обратное неверно(([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]].)).
* Целостное кольцо {R}, не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма {\displaystyle N\colon R\to Z_{+}} такая, что:
- {N(ab)\le N(a)}, {b} — обратим;
- для любых {a,b \in R} существуют {q,r \in R} такие, что {a=qb + r} и {r=0} или {N( r ) < N(b)}(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 118.)).
* Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 21.)).
* Кольцо, элементами которого являются [[число|числа]], а операциями — [[сложение]] и [[умножение]] чисел, называют **числовым кольцом**. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 266.)).
=====Примеры=====
* {\{ 0\}} — [[тривиальное-кольцо|тривиальное кольцо]], состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.)). Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения [[теория-категорий|теории категорий]], так как при этом в категориях колец возникает [[терминальный-объект|терминальный объект]].
* {\mathbb {Z}} — [[целые-числа|целые числа]] (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как [[алгебра-над-кольцом|алгебру]] над {\mathbb {Z}}. Также это [[начальный-объект|начальный объект]] в категории **Ring** колец с единицей.(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]].))(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]].))
* {\mathbb {Z} _{n}} — [[конечное-кольцо|конечное кольцо]] [[сравнение-по-модулю|вычетов]] по модулю натурального числа //n//. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число //n// [[простое-число|простое]].(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 28-34.)) Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории [[конечное-поле|конечных полей]]. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры [[конечнопорождённая-абелева-группа|конечнопорождённых абелевых групп]], их также можно использовать для построения [[p-адическое-число|p-адических чисел]].
* {\mathbb {Q}} — кольцо [[рациональное-число|рациональных чисел]], являющееся полем. Это простейшее поле [[характеристика-поля|характеристики]] 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля [[вещественное-число|вещественных чисел]] {\mathbb {R}} и //p//-адических чисел {\mathbb {Q}_p,} где //p// — произвольное простое число(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 509-512.)).
* Для произвольного коммутативного кольца {R} можно построить [[кольцо-многочленов|кольцо многочленов]] от //n// переменных {R[x_1,x_2,\dots,x_n]} с коэффициентами в {R.}(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.)) В частности, {R[x][y]=R[x,y].} Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через [[тензорное-произведение|тензорное произведение]]: {R[x_1,\dots,x_n]=R \otimes \left({\mathbb {Z}}[x_1,\dots,x_n]\right).}
* Кольцо подмножеств множества {X} — это кольцо, элементами которого являются подмножества в {X}. Операция сложения есть [[симметрическая-разность|симметрическая разность]], а умножение — [[пересечение-множеств|пересечение множеств]]:
{A + B=A \Delta B=(A\setminus B ) \cup (B \setminus A),}{A \cdot B=A \cap B.} * //Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё// {X.} //Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть// {A\cdot A=A.} //Любой элемент является своим обратным по сложению:// {A+A=0.} //Кольцо подмножеств важно в теории [[булева-алгебра|булевых алгебр]] и [[мера-множества|теории меры]], в частности в построении [[теория-вероятностей|теории вероятностей]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.)).//
=====Конструкции=====
====Прямое произведение====
Пусть //R// и //S// — кольца. Тогда [[прямое-произведение|произведение]] {R\times S} можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых {r_1,r_2\in R}, {s_1,s_2\in S:}
* {(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),}
* {(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).}
Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 33.))
Пусть {R} — [[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]] и {\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n} — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их [[сумма-идеалов|сумма]] равна всему кольцу). [[китайская-теорема-об-остатках|Китайская теорема об остатках]] утверждает, что отображение
{R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a}_n)}
сюръективно, а его ядро — {\prod \mathfrak{a}_i=\cap \mathfrak{a}_i} (см. [[произведение-идеалов|Произведение идеалов]], [[пересечение-идеалов|Пересечение идеалов]]).(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]], с. 10.))
====Кольцо эндоморфизмов====
Пусть //A// — [[абелева-группа|абелева группа]] (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество [[гомоморфизм-групп|гомоморфизмов]] этой группы в себя (то есть [[эндоморфизм|эндоморфизмов]]) образует кольцо, обозначаемое End(//A//). Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: {(f+g)(x)=f(x)+g(x),} а произведение — как композиция гомоморфизмов: {(fg)(x)=f(g(x)).} Если //A// — группа, не являющаяся абелевой, то {f+g,} вообще говоря, не равно {g+f,} тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 173.))
====Поле частных и кольцо частных====
Пусть //R// — [[целостное-кольцо|целостное кольцо]], тогда следующая конструкция позволяет построить наименьшее [[поле-алгебра-|поле]], содержащее его. [[поле-частных|Поле частных]] кольца //R// — это множество [[класс-эквивалентности|классов эквивалентности]] формальных дробей {p/q,\; p,q\in R} по следующему [[отношение-эквивалентности|отношению эквивалентности]]:
{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2} тогда и только тогда, когда {p_1q_2}={p_2q_1},
с обычными операциями: {{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.}
Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть //S// — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце //R// (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда [[кольцо-частных|кольцо частных]] {S^{-1}R} — это множество классов эквивалентности формальных дробей {r/s,\; r\in R, s\in S} по отношению эквивалентности:
{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2} тогда и только тогда, когда существует {s'\in S}, такое что {s'{r_1s_2-r_2s_1}=0.}
Также эту конструкцию называют //локализацией кольца// (так как в [[алгебраическая-геометрия|алгебраической геометрии]] она позволяет исследовать локальные свойства [[алгебраическое-многообразие|многообразия]] в отдельной его точке). Пример: кольцо [[десятичная-дробь|десятичных дробей]] — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе {S=\{10^n|n\ge 0\}.}
Существует естественное отображение {R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.} Его [[ядро-алгебра-|ядро]] состоит из таких элементов //r//, для которых существует //s// ∈ //S//, такое что {rs=0.} В частности, для целостного кольца это отображение [[инъективность|инъективно]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 450-452.))(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 305-311.)).
=====Категорное описание=====
Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют [[теория-категорий|категорию]], обычно обозначаемую **Ring** (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают **Rng**). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она [[полная-категория|полна и кополна]]. Это значит, что в ней существуют все малые [[предел-теория-категорий-|пределы]] и копределы (например, [[произведение-теория-категорий-|произведения]], [[копроизведение|копроизведения]], [[ядро-теория-категорий-|ядра]] и [[коядро-теория-категорий-|коядра]]). Категория колец с единицей обладает [[начальный-объект|начальным объектом]] (кольцо {\mathbb {Z}}) и [[терминальный-объект|терминальным объектом]] (нулевое кольцо).
Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это [[моноид-теория-категорий-|моноид]] в [[категория-абелевых-групп|категории абелевых групп]] (абелевы группы образуют [[моноидальная-категория|моноидальную категорию]] относительно операции [[тензорное-произведение|тензорного произведения]]). [[действие-группы|Действие]] кольца //R// на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как [[моноид]] по умножению) превращает абелеву группу в //R//-[[модуль-над-кольцом|модуль]]. Понятие модуля обобщает понятие [[векторное-пространство|векторного пространства]]: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]].))(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]].))
=====Специальные классы колец=====
* [[артиново-кольцо|Артиново кольцо]]
* [[дедекиндово-кольцо|Дедекиндово кольцо]]
* [[дистрибутивное-кольцо|Дистрибутивное кольцо]]
* [[дифференциальная-алгебра|Дифференциальное кольцо]]
* [[кольцо-главных-идеалов|Кольцо главных идеалов]]
* [[евклидово-кольцо|Евклидово кольцо]]
* [[кольцо-безу|Кольцо Безу]]
* [[кольцо-ли|Кольцо Ли]]
* [[конечное-кольцо|Конечное кольцо]]
* [[локальное-кольцо|Локальное кольцо]]
* [[нётерово-кольцо|Нётерово кольцо]]
* [[область-целостности|Область целостности]]
* [[область-главных-идеалов|Область главных идеалов]]
* [[первичное-кольцо|Первичное кольцо]]
* [[полулокальное-кольцо|Полулокальное кольцо]]
* [[полупервичное-кольцо|Полупервичное кольцо]]
* [[полупростое-кольцо|Полупростое кольцо]]
* [[полуцепное-кольцо|Полуцепное кольцо]]
* [[простое-кольцо|Простое кольцо]]
* [[факториальное-кольцо|Факториальное кольцо]]
* [[цепное-кольцо|Цепное кольцо]]
Обобщения — [[неассоциативное-кольцо|неассоциативное кольцо]], [[полукольцо]], [[почтикольцо]].
=====Структуры над кольцами=====
* [[алгебра-над-кольцом|Алгебра над кольцом]]
* [[бимодуль-над-кольцом|Бимодуль над кольцом]]
* [[модуль-над-кольцом|Модуль над кольцом]]
=====Литература=====
* //[[атья-майкл-фрэнсис|М. Атья]], И. Макдональд.// Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
* //Бельский А., Садовский Л.// [[http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm|Кольца.]] [[квант-журнал-|Квант]] № 2, 1974.
* //[[ван-дер-варден-бартель-леендерт|Ван дер Варден Б. Л.]]// Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
* //[[винберг-эрнест-борисович|Винберг Э. Б.]]// Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
* //[[глейзер-герш-исаакович|Глейзер Г. И.]]// История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
* //[[колмогоров-андрей-николаевич|Колмогоров А. Н.]],[[юшкевич-адольф-павлович|Юшкевич А. П.]](ред.).// Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — 255 с.
* //Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
* //[[курош-александр-геннадиевич|Курош А. Г.]]// Курс высшей алгебры.. — М.: Наука, 1968. — 431 с.
* //Фейс К.// Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
* //Фейс К.// Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.
* //Херстейн И.// Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.
{{tag>"Общая алгебра" "Теория колец"}}