Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Коммутативная операция======
[{{wiki:250px-commutative-word-origin.png|Первое известное использование термина коммутативность: фрагмент французского журнала «Annales de Gergonne», выпускавшегося с 1810 по 1832 годы, выпуск 1814-15}}][{{wiki:280px-commutative-addition-svg.png|Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3)}}]**Коммутативная операция** — [[бинарная-операция|бинарная операция]] «{\circ}», обладающая свойством **коммутативности** ([[латинский-язык#-d0-9f-d0-be-d0-b7-d0-b4-d0-bd-d1-8f-d1-8f-d0-bb-d0-b0-d1-82-d1-8b-d0-bd-d1.8c|позднелат.]] //commutativus// — «меняющийся»), то есть свойством //переместительности//:
{x\circ y=y\circ x} для любых элементов {x,\;y}.
В частности, если [[группа-математика-|групповая]] операция является коммутативной, то группа называется [[абелева-группа|абелевой]]. Если операция умножения в [[кольцо-алгебра-|кольце]] является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.
=====История=====
Термин «коммутативность» ввёл в [[1814-год|1814 году]] французский математик [[сервуа-франсуа-жозеф|Франсуа Жозеф Сервуа]].
=====Примеры=====
* Сумма и произведение действительных чисел //коммутативны//:
{a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in\R.}
* [[конъюнкция|Конъюнкция]] и [[дизъюнкция]] //коммутативны//:
{a \wedge b \equiv b \wedge a; \quad a \vee b \equiv b \vee a.}
* [[объединение-множеств|объединение]], [[пересечение-множеств|пересечение]] и [[симметрическая-разность|симметрическая разность]] множеств //коммутативны//:
{A \cup B=B \cup A; \quad A \cap B=B \cap A; \quad A \bigtriangleup B=B \bigtriangleup A.}
* [[возведение-в-степень|Возведение в степень]] действительных чисел некоммутативно ({a^b \ne b^a}):
{2^4=4^2=16}, но {2^5=32 \ne 5^2=25}.
* [[умножение-матриц|Умножение матриц]] в общем случае некоммутативно:
{\binom{5\ 4}{8\ 0} \binom{2\ 9}{6\ 1}=\binom{34\ 49}{16\ 72}}, но {\binom{2\ 9}{6\ 1} \binom{5\ 4}{8\ 0}=\binom{82\ \,8\,}{38\ 24}}
=====См. также=====
* [[антикоммутативность|Антикоммутативность]]
* [[ассоциативная-операция|Ассоциативная операция]]
* [[дистрибутивность|Дистрибутивность]]
* [[аддитивность|Аддитивность]]
* [[идемпотентность|Идемпотентность]]
=====Ссылки=====
* //Коммутативность// — статья из [[большая-советская-энциклопедия|Большой советской энциклопедии]].
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Commutativity|"Commutativity"]] // Encyclopedia of Mathematics, Springer, [[служебная-источники-книг/9781556080104|ISBN 978-1-55608-010-4]] (англ.)
{{tag>Арифметика "Бинарные операции" "Свойства операций"}}