Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Конгруэнция====== **Конгруэнция** — [[отношение-эквивалентности|отношение эквивалентности]] на [[алгебраическая-система|алгебраической системе]], сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в [[универсальная-алгебра|универсальной алгебре]]: всякая конгруэнция порождает соответствующую [[факторсистема|факторсистему]] — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции. =====Определение===== Отношение {\theta(x_1, \ldots, x_m)} на множестве {A} называется //стабильным// относительно {n}-арной операции {f}, определённой на этом множестве, если для любых элементов {a_{i1}, \ldots, a_{im}} ({i=1, \ldots, n}) множества {A} из истинности отношений {\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})} ({i=1, \ldots, n}) вытекает истинность отношения {\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))}. Отношение {\theta} называется конгруэнцией на алгебраической системе {\mathfrak A}, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы {\mathfrak {A}}. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы {\mathfrak {A}}.) =====Факторсистема===== Для алгебраической системы {\mathfrak A=(A, \mathit\Phi, \mathit {P})} на [[фактормножество|фактормножестве]] {A / \theta} по конгруэнции {\theta \subseteq A^2} для всех операций {f_i \in \mathit\Phi} и отношений {r_i \in \mathit {P}} естественным образом вводятся операции и отношениями над соответствующими классами смежности: {f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta)=[f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta},{r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m)}. Получающаяся система обозначается {\mathfrak{A} / \theta} и называется факторсистемой, а отображение {h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta}, определяемое правилом {h_\theta(a)=[a]_\theta} — //каноническим эпиморфизмом//. Множество всех конгруэнций данной системы {\mathrm{Con}(\mathfrak{A})} образует [[полная-решётка|полную решётку]] относительно [[бинарное-отношение#-d0-9e-d0-bf-d0-b5-d1-80-d0-b0-d1-86-d0-b8-d0-b8-d0-bd-d0-b0-d0-b4-d0-be-d1-82-d0-bd-d0-be-d1-88-d0-b5-d0-bd-d0-b8-d1-8f-d0-bc-d0.b8|операций объединения и пересечения]], а также задает отношение включения: {\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b}. Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы {\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})} имеет место следующий результат (**теорема Ремака**): факторсистема по пересечению набора конгруэнций [[инъекция-математика-|вкладывается]] в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора: {\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \rightar \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}}//.// =====Литература===== * //[[артамонов-вячеслав-александрович|Артамонов В. А.]] // Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. [[скорняков-лев-анатольевич|Л. А. Скорнякова]]. — М.: [[наука-издательство-|Наука]], 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — [[служебная-источники-книг/5922104004|ISBN 5-9221-0400-4]]. * //[[мальцев-анатолий-иванович|Мальцев, А. И.]]// Алгебраические системы. — М.: [[наука-издательство-|Наука]], 1970. — 392 с. — 17 500 экз. \\ {{tag>"Математические отношения" "Универсальная алгебра"}}