Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Магма (алгебра)======
**Магма** (**группоид**) в [[общая-алгебра|общей алгебре]] — [[алгебра-универсальная-алгебра-|алгебра]], состоящая из [[множество|множества]] //М// с одной [[бинарная-операция|бинарной операцией]] //M// × //M// → //M//. Помимо требования [[замыкание-алгебра-|замкнутости]] множества относительно заданной на нём [[операция-математика-|операции]], других требований к операции и множеству не предъявляется.
Термин «//магма//» был предложен [[николя-бурбаки|Бурбаки]]. Термин «//группоид//» старше, он предложен [[оре-ойстин|Ойстином Оре]], однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — [[группоид-теория-категорий-|теоретико-категорному группоиду]], и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.
=====Типы магм=====
Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:
* [[квазигруппа-математика-|квазигруппа]] — непустая магма, в которой всегда возможно [[деление-математика-|деление]];
* петля или [[лупа-алгебра-|лупа]] — квазигруппа с [[нейтральный-элемент|нейтральным элементом]];
* [[полугруппа]] — магма с [[ассоциативная-операция|ассоциативной операцией]];
* [[моноид]] — полугруппа с [[нейтральный-элемент|нейтральным элементом]];
* [[группа-математика-|группа]] — моноид с [[обратный-элемент|обратным элементом]] или, то же что, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
* [[абелева-группа|абелева группа]] — группа с [[коммутативная-операция|коммутативной операцией]].
=====Морфизм магм=====
[[морфизм|Морфизм]] магм — это функция {f:M\to N}, соотносящая магме {M} магму {N}, которая сохраняет бинарную операцию:
{f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}
где {*_{M}} и {*_{N}} обозначают бинарные операции на {M} и на {N} соответственно.
=====Комбинаторика и скобки=====
Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая [[строковый-тип|строка]] состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется [[язык-дика|языком Дика]]. Общее число различных способов записи //n// применений оператора магмы определяется [[число-каталана|числом Каталана]] {C_{n}}. Так например, {C_{2}=2}, что эквивалентно утверждению, что {(ab)c} и {a(bc)} — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.
Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий [[приоритет-операции|приоритет]] у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы «·», то //xy//·//z// — сокращённая запись (//x// · //y//) · //z//. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая //xy//·//z// · //wv// вместо ((//x// · //y//) · //z//) · (//w// · //v//). Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способом избежать использования скобок является [[польская-нотация|префиксная запись]], которая, однако, неинтуитивна.
=====См. также=====
* [[универсальная-алгебра|Универсальная алгебра]]
* [[алгебраическая-система|Алгебраическая система]]
=====Литература=====
* //Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.
{{tag>"Общая алгебра"}}