Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231
Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Мономорфизм======
**Мономорфи́зм** ― [[морфизм]] {m:A\to B} [[категория-математика-|категории]] {\mathcal C}, такой что из всякого равенства {m\circ f=m\circ h} следует, что {f=h} (другими словами, на {m} можно сокращать слева). Часто мономорфизм из //X// в //Y// обозначают {X\hookrightarrow Y}.
Двойственным к понятию мономорфизм является понятие [[эпиморфизм|эпиморфизма]]. Отметим, что для того, чтобы [[морфизм|стрелка]] была [[изоморфизм|изоморфизмом]], в общем случае не достаточно её мономорфности и эпиморфности.
Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия [[инъективность|инъективной функции]]. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.
=====Связь с обратимостью=====
Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если //l// — левый обратный к //f// (то есть {l\circ f=\operatorname {id}_{{X}}}), то
{f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}
В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории **Grp** всех [[группа-математика-|групп]], если //H// является подгруппой //G//, то вложение //f// : //H// → //G// — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм //f// : //G// → //H// существует, только если у //H// есть нормальная [[дополнительная-группа|дополнительная группа]] (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм {f:X\to Y} является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение {f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm {Hom}}(Z,Y)}, определенное как {f_{{*}}h=f\circ h} для морфизмов {h:Z\to X}, [[инъективность|инъективно]] для всех //Z//.
=====Связь с инъективностью=====
Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в [[конкретная-категория|конкретных категориях]]. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В [[категория-множеств|категории множеств]] верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию [[свободный-объект|свободного объекта]], порожденного одним элементом. Например, это верно в любой [[абелева-категория|абелевой категории]].
Однако это верно не всегда. Например, в категории **Div** [[полная-группа|делимых]] (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации //q// : **Q** → **Q**/**Z**.
=====Типы мономорфизмов=====
* Мономорфизм называется регулярным, если он является [[уравнитель-математика-|уравнителем]] некоторой пары параллельных морфизмов.
* Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм. Более подробно, если экстремальный мономорфизм представлен в виде //g// ∘ //e// с эпиморфизмом //e//, то //e// — изоморфизм.
=====Терминология=====
Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться [[бурбаки|Бурбаки]], причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. [[маклейн-саундерс|Маклейн, Саундерс]] попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и «monic maps» — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.
=====Литература=====
* //С. Маклейн// Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — [[служебная-источники-книг/5922104004|ISBN 5-9221-0400-4]].
* George Bergman (1998), //[[http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html|An Invitation to General Algebra and Universal Constructions]]//, Henry Helson Publisher, Berkeley. [[служебная-источники-книг/0965521141|ISBN 0-9655211-4-1]].
=====См. также=====
* [[подобъект|Подобъект]]
* [[эпиморфизм|Эпиморфизм]]
* [[вложение|Вложение]]
{{tag>"Теория категорий"}}