Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Определитель====== **Определи́тель** (или **детермина́нт**) — одно из основных понятий [[линейная-алгебра|линейной алгебры]]. Определитель [[квадратная-матрица|квадратной матрицы]] \small {{A}} размеров \small {{n\times n}}, заданной над [[коммутативное-кольцо|коммутативным кольцом]] \small {{R}}, является элементом кольца \small {{R}}, вычисляемым по формуле, приведённой ниже. Он «определяет» свойства матрицы \small {{A}}. В частности, матрица \small {{A}} [[обратная-матрица|обратима]] тогда и только тогда, когда её определитель является [[обратимый-элемент|обратимым элементом]] кольца \small {{R}}. Определитель матрицы \small {{A}} равен нулю тогда и только тогда, когда [[ранг-матрицы|ранг матрицы]] \small {{A}} меньше \small {{n}} или когда системы строк и столбцов матрицы \small {{A}} являются [[линейная-независимость|линейно зависимыми]]. Определитель [[матрица-математика-|матрицы]] //А// обозначается как \small {{\displaystyle \det(A)}}, \small {{|A|}} или \small {{\displaystyle \Delta (A)}}. =====История===== Теория определителей возникла в связи с задачей решения [[система-линейных-алгебраических-уравнений|систем линейных уравнений]]. К понятию определителя близко подошли авторы древнекитайского учебника «[[математика-в-девяти-книгах|Математика в девяти книгах]]»((//Э. И. Березкина.// Математика древнего Китая. — М.: Наука, 1980.)). В Европе определители матриц 2×2 встречаются у [[кардано-джероламо|Кардано]] в XVI веке. Для старших размерностей определены [[лейбниц-готфрид-вильгельм|Лейбницем]] в 1693 году. Первая публикация принадлежит [[крамер-габриэль|Крамеру]]. Теория определителей создана [[вандермонд-александр-теофил|Вандермондом]], [[лаплас-пьер-симон|Лапласом]], [[коши-огюстен-луи|Коши]] и [[якоби-карл-густав-якоб|Якоби]]. Термин «определитель» встречается впервые у [[гаусс-карл-фридрих|Гаусса]]. Японский математик [[сэки-такакадзу|Сэки Такакадзу]] ввёл определители независимо в 1683 году((//H. W. Eves.// An Introduction to the History of Mathematics. — Saunders College Publishing, 1990.)). =====Определения===== ====Через перестановки==== Для матрицы \small {{n\times n}} определитель вычисляется по формуле: \small {{\displaystyle \Delta=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1,\alpha _{1}}\cdots a_{n,\alpha _{n}}}}, где \small {{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}} — [[перестановка]] чисел от 1 до \small {{n}}, \small {{\displaystyle N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}} — [[перестановка|число инверсий]] в перестановке, суммирование проводится по всем перестановкам порядка \small {{n}}. Таким образом, в определитель входит \small {{n!}} слагаемых, которые также называют «членами определителя». ====Аксиоматическое построение (определение на основе свойств)==== Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функция \small {{\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}}}, обладающая следующими тремя свойствами: - \small {{\det(A)}} — кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы \small {{A}}. - \small {{\det(A)}} — полилинейная функция строк (столбцов) матрицы \small {{A}}. - \small {{\det(E)=1}}, где \small {{E}} — единичная \small {{n\times n}}-матрица. =====Значение определителя матрицы===== Для матрицы первого порядка значение **детерминанта** равно единственному элементу этой матрицы: * // \small {{\Delta={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}}} // ====Матрицы 2 x 2==== {| |- style="vertical-align:middle; text-align: center;" | style="padding:auto;margin:0;" class="thumbimage"| wiki:svg:determinant-2x2.svg?width="300" | style="padding:auto;margin:0;" class="thumbimage"| wiki:svg:area-parallellogram-as-determinant.svg?width="250" |- style="vertical-align:top;" |Схема расчета определителя матрицы 2×2. |Площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами - сторонами параллелограмма. |} Для матрицы \small {{2\times 2}} определитель вычисляется как: * // \small {{\Delta={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}} // Эта матрица **A** может быть рассмотрена как матрица [[линейное-отображение|линейного отображения]], преобразующего [[единичный-квадрат|единичный квадрат]] в параллелограмм с вершинами (0, 0), (//a//, //b//), (//a// + //c//, //b// + //d//), и (//c//, //d//). [[абсолютная-величина|Абсолютное значение]] определителя \small {{|ad-bc|}} равно площади этого параллелограмма, и, таким образом, отражает коэффициент, на который масштабируются площади при преобразовании **A**. Значение определителя со знаком (//ориентированная площадь// параллелограмма) помимо коэффициента масштабирования также показывает, выполняет ли преобразование **A** отражение. ====Матрицы 3 x 3==== Определитель матрицы \small {{3\times 3}} можно вычислить по формуле: * // \small {{\Delta={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=}}\small {{=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}} // Для более удобного вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться [[правило-сарруса|правилом Саррюса]] или правилом треугольника. Определитель матрицы, составленной из векторов \small {{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}}} равен их [[смешанное-произведение|смешанному произведению]] в правой декартовой системе координат. Аналогично двумерному случаю, определитель такой матрицы равен ориентированному объему параллелепипеда, натянутого на \small {{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}}}. ====Матрицы N x N==== В общем случае, для матриц более высоких порядков (выше 2-го порядка) \small {{n\times n}} определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу: * // \small {{\Delta=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}}}, где \small {{\bar {M}}_{j}^{1}} — [[дополнительный-минор|дополнительный минор]] к элементу \small {{a_{1j}}}. Эта формула называется **разложением по строке**. // Легко доказать, что при [[транспонированная-матрица|транспонировании]] определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке): * // \small {{\Delta=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}}} // \\ Доказательство  Пусть \small {{\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}}. [[математическое-доказательство|Докажем]], что \small {{\tilde {\Delta }}=\Delta} по индукции. Видно, что для матрицы \small {{2\times 2}} это верно: * // \small {{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}} // Предположим, что для матрицы порядка \small {{n-1}} \small {{\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}} — верно. * // \small {{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}=} // * // \small {{=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}}} // * // \small {{\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=} // * // \small {{=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}}} [[q-e-d.|■]] // Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу): * // \small {{\Delta=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}} // \\ Доказательство  Пусть \small {{\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}. Докажем, что \small {{\tilde {\Delta }}=\Delta} по индукции. Видно, что для матрицы \small {{2\times 2}} это верно: * // \small {{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}} // Предположим, что для матрицы порядка \small {{n-1}} \small {{\tilde {\Delta }}_{n-1}=\Delta _{n-1}} — верно. * // \small {{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{kj}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}\right)} // Соберём коэффициенты при \small {{\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}}: * // \small {{j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=}} // * // \small {{=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}} // * // \small {{j_{0} // * // \small {{=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}} // * // \small {{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}} // * // \small {{\Delta=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{kj}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^{1i}\right)}} // Соберём коэффициенты при \small {{\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}}: * // \small {{j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=(-1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=}} // * // \small {{=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}} // * // \small {{j_{0} // * // \small {{=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}}} // * // \small {{\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}} [[q-e-d.|■]] // [[обобщение|Обобщением]] вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу ([[теорема-лапласа|Теорема Лапласа]]), дающее возможность вычислять определитель по любым \small {{k}} строкам (столбцам): * // \small {{\displaystyle \Delta=\sum _{1\le j_{1}<\ldots // ====Альтернативные методы вычисления==== * [[метод-конденсации-доджсона|Метод конденсации Доджсона]], основанный на рекурсивной формуле: \small {{\det(M)={\frac {\det(M_{1}^{1})\det(M_{k}^{k})-\det(M_{1}^{k})\det(M_{k}^{1})}{\det(M_{1,k}^{1,k})}},}} где \small {{M_{1}^{1},M_{k}^{k},M_{1}^{k},M_{k}^{1},M_{1,k}^{1,k}}} матрицы, получающиеся из исходной вычёркиванием соответствующих строк и столбцов. =====Свойства определителей===== * Определитель — [[multilinear-form|полилинейная функция]] строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по каждой строке (по каждому столбцу): \small {{\Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})}} , где \small {{\hat {A}}_{1}} и т. д. — строчки матрицы, \small {{\Delta ({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})}} — определитель такой матрицы. * Определитель — [[кососимметричность|кососимметрическая]] функция строк (столбцов) матрицы. \small {{\Delta (\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\Delta (\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )}} . (Другими словами, если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (−1).) * При добавлении к любой строке (столбцу) [[линейная-комбинация|линейной комбинации]] других строк (столбцов) определитель не изменится. (Следствие кососимметричности и полилинейности.) * Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю. (Следствие кососимметричности.) * Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю. * Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя. * Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю. * Сумма произведений всех элементов любой строки на их [[алгебраическое-дополнение|алгебраические дополнения]] равна определителю. * Сумма произведений всех элементов любого ряда на [[алгебраическое-дополнение|алгебраические дополнения]] соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. * Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (см. также [[формула-бине-коши|формулу Бине-Коши]]). В частности, определители [[подобные-матрицы|подобных]] матриц равны. * С использованием [[соглашение-эйнштейна|индексной нотации]] определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью [[символ-леви-чивита|символа Леви-Чивита]] из соотношения: \small {{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.} * Определитель квадратной матрицы 3×3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы. * Определитель матрицы равен произведению её [[собственный-вектор|собственных значений]]. * Если квадратная матрица выражает [[линейное-преобразование|линейное преобразование]], то её определитель не меняется при замене [[базис|базиса]] линейного пространства. =====Алгоритмическая реализация===== * Прямые методы вычисления определителя могут быть основаны непосредственно на его определении, как суммы по перестановкам, или на [[разложение-лапласа|разложении Лапласа]] по определителям меньшего порядка. Однако такие методы очень неэффективны, так как требуют [[сложность-алгоритма|О]]([[факториал|n!]]) операций для вычисления определителя \small {{n}}-го порядка. * Один из более быстрых методов заключается в простой модификации [[метод-гаусса|метода Гаусса]]. Следуя методу Гаусса, произвольную матрицу \small {{A}} можно привести к [[треугольная-матрица|ступенчатому виду]] (Верхнетреугольная матрица), используя лишь две следующие операции над матрицей — перестановку двух строк и добавление к одной из строк матрицы другой строки, умноженной на произвольное число. Из свойств определителя следует, что вторая операция не изменяет определителя матрицы, а первая лишь меняет его знак на противоположный. Определитель матрицы, приведённой к ступенчатому виду, равен произведению элементов на её диагонали, так как она является [[треугольная-матрица|треугольной]], поэтому определитель исходной матрицы равен: \small {{\displaystyle \det A=(-1)^{s}\cdot \det A_{\mbox{ref}},}} * //где// \small {{s}} //— число перестановок строк, выполненных алгоритмом, а// \small {{A_{\mbox{ref}}}} //— ступенчатая форма матрицы// \small {{A}}//, полученная в результате работы алгоритма. Сложность этого метода, как и метода Гаусса, составляет// \small {{O(n^{3})}}. * Определитель можно вычислить, зная [[lu-разложение|LU-разложение]] матрицы. Если \small {{A=LU}}, где \small {{L}} и \small {{U}} — треугольные матрицы, то \small {{\det A=(\det L)(\det U)}}. Определитель треугольной матрицы равен просто произведению её диагональных элементов. * Если доступен алгоритм, выполняющий [[умножение-матриц|умножение]] двух матриц порядка \small {{n}} за [[сложность-алгоритма|время]] \small {{M(n)}}, где \small {{M(n)\geqslant n^{a}}}, для некоторого \small {{a>2}}, то определитель матрицы порядка \small {{n}} может быть вычислен за время \small {{O(M(n))}}.((//J. R. Bunch and J.E. Hopcroft.// Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication, //Mathematics of Computation//, 28 (1974) 231—236.)) В частности это означает, что, используя для умножения матриц [[алгоритм-копперсмита-винограда|алгоритм Копперсмита — Винограда]], определитель можно вычислить за время \small {{O(n^{2.376})}}. =====Специальные виды определителей===== * [[вронскиан|Определитель Вронского (Вронскиан)]] * [[определитель-вандермонда|Определитель Вандермонда]] * [[определитель-грама|Определитель Грама]] * [[якобиан|Определитель Якоби (Якобиан)]] =====См. также===== * [[циркулянт|Циркулянт]] * [[перманент|Перманент]] * [[пфаффиан|Пфаффиан]] * [[результант|Результант]] =====Литература===== * //[[ильин-владимир-александрович|В. А. Ильин]], [[позняк-эдуард-генрихович|Э. Г. Позняк]]// Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999. * //[[беклемишев-дмитрий-владимирович|Беклемишев Д. В.]]// Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000. * //[[кострикин-алексей-иванович|Кострикин А. И.]]// Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004. \\ {{tag>"Матричные инварианты" Определители}}