Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Подобие====== [{{wiki:327px-similar-geometric-shapes-svg.png|Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета}}]**Подо́бие** — преобразование [[евклидово-пространство|евклидова пространства]], при котором для любых двух точек {A}, {B} и их образов {A'}, {B'} имеет место соотношение {|A'B'|=k|AB|}, где {\displaystyle k\neq 0} — коэффициент подобия. =====Открытие===== Учение о  подобии фигур было создано в [[древняя-греция|Древней Греции]] в V—IV вв. до н. э. трудами [[гиппократ-хиосский|Гиппократа Хиосского]], [[архит-тарентский|Архита Тарентского]], [[евдокс-книдский|Евдокса Книдского]] и др. Оно изложено в VI книге «Начал» [[евклид|Евклида]]. =====Примеры===== * Каждая [[гомотетия]] является подобием. * Каждое [[изометрия-математика-|движение]] (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом {k=1}. =====Связанные определения===== * [[фигура-геометрия-|Фигура]] {F} называется **подобной фигуре** {F'}, если существует преобразование подобия, при котором {\displaystyle F\mapsto F'}. * Подобие фигур является [[отношение-эквивалентности|отношением эквивалентности]]. =====Свойства===== * Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя. * Подобие является [[аффинное-преобразование|афинным преобразованием плоскости.]] * Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка {B} лежит между точками {A}, {C} и {B'}, {A'}, {C'} — соответствующие их образы при некотором подобии, то {B'} также лежит между точками {A'} и {C'}. * Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой. * Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. * Подобие сохраняет величины углов между кривыми. * Подобие с коэффициентом {k\not=1}, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом {k} или {-k}. * Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения {D} и некоторой гомотетии {\Gamma} с положительным коэффициентом. * Подобие называется **собственным** (**несобственным**), если движение {D} является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную. * Два [[треугольник|треугольника]] являются подобными, если * их соответственные углы равны, или * стороны пропорциональны. См. также [[признаки-подобия-треугольников|Признаки подобия треугольников]]. * Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов. =====Обобщения===== Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и [[псевдоевклидово-пространство|псевдоевклидовом пространствах]]. В метрических пространствах так же, как в {n}-мерных [[риманово-пространство|римановых]], [[псевдориманово-пространство|псевдоримановых]] и [[финслерово-пространство|финслеровых]] пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя. Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет {r}-членную [[группа-ли|группу преобразований Ли]], называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов {r}-членная группа подобных преобразований Ли содержит {(r-1)}-членную [[нормальная-подгруппа|нормальную подгруппу]] движений. =====Обозначение===== Для обозначения подобия используется значок ~. =====См. также===== * [[признаки-подобия-треугольников|Признаки подобия треугольников]] * [[конгруэнтность-геометрия-|Конгруэнтность (геометрия)]] * [[конформное-отображение|Конформное отображение]] * [[симметрия|Симметрия]] * [[самоподобие|Самоподобие]] =====Ссылки===== * [[http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ravenstvo-i-podobie-gyeometricheskih-figur|Равенство и подобие геометрических фигур]]. * //[[граве-дмитрий-александрович|Граве Д. А.]]// [[эсбе/гомотетические-фигуры|Гомотетические фигуры]] // [[энциклопедический-словарь-брокгауза-и-ефрона|Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона]] : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907. \\ {{tag>"Математические отношения" Планиметрия "Преобразования пространства"}}