Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Поле (алгебра)====== **По́ле** в [[общая-алгебра|общей алгебре]] — [[алгебра-универсальная-алгебра-|алгебра]], для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле [[рациональное-число|рациональных чисел]] (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических. Поле — основной предмет изучения [[теория-полей|теории полей]]. [[рациональное-число|Рациональные]], [[вещественное-число|вещественные]], [[комплексное-число|комплексные]] числа, [[кольцо-вычетов|вычеты]] по модулю заданного [[простое-число|простого числа]] образуют поля. =====История===== В рамках понятия о поле неявно работал ещё [[галуа-эварист|Галуа]] в [[1830-год-в-науке|1830 году]], с использованием идеи [[алгебраическое-расширение|алгебраического расширения]] поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи [[теория-галуа|теории Галуа]] была доказана невозможность решения таких классических задач, как [[квадратура-круга|квадратура круга]], [[трисекция-угла|трисекция угла]] и [[удвоение-куба|удвоение куба]]. Явное введение понятия поля относят к [[дедекинд-рихард|Дедекинду]] (изначально под названием «//рациональная область//», термин «поле» введён в [[1871-год-в-науке|1871 году]]). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в [[линейная-алгебра|линейной алгебре]] как структура, универсализирующая понятие [[скаляр|скаляра]], и основная структура линейной алгебры — [[линейное-пространство|линейное пространство]] — определяется как конструкция над произвольным полем. Также [[теория-полей|теория полей]] в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как [[алгебраическая-геометрия|алгебраическая геометрия]] и [[алгебраическая-теория-чисел|алгебраическая теория чисел]]. =====Формальные определения===== Алгебра над множеством {F}, образующая [[абелева-группа|коммутативную группу]] по сложению {+} над {F} с [[нейтральный-элемент|нейтральным элементом]] {0} и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами {F\setminus \{{0}\}}, при выполняющемся свойстве [[дистрибутивность|дистрибутивности]] умножения относительно сложения. Если раскрыть указанное выше определение, то множество {F} с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения {+} и умножения {*} ({+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F}, т. е. {\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F}) называется **полем** {\left\langle F,+,*\right\rangle}, если выполнены следующие аксиомы: - Коммутативность сложения: {\forall a,b\in F\quad a+b=b+a}. - Ассоциативность сложения: {\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)}. - Существование нулевого элемента: {\exists {{0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{{0}}=a}. - Существование противоположного элемента: {\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={{0}}}. - Коммутативность умножения: {\forall a,b\in F\quad a*b=b*a}. - Ассоциативность умножения: {\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)}. - Существование единичного элемента: {\exists e\in F\colon \forall a\in F\quad a*e=a}. - Существование обратного элемента для ненулевых элементов: {(\forall a\in F\colon a\neq {{0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}. - Дистрибутивность умножения относительно сложения: {\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}. Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению {+} над {F}, аксимомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению {*} над {F\setminus \{{{0}}\}}, а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом. В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как [[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]], являющееся [[тело-алгебра-|телом]]. Иерархия структур следующая: * //**[[коммутативное-кольцо|Коммутативные кольца]]** ⊃ **[[целостное-кольцо|целостные кольца]]** ⊃ **[[факториальное-кольцо|факториальные кольца]]** ⊃ **[[область-главных-идеалов|области главных идеалов]]** ⊃ **[[евклидово-кольцо|евклидовы кольца]]** ⊃ **поля**.// =====Связанные определения===== Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: //подполем// называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, [[расширение-поля|расширением]] — поле, содержащее данное в качестве подполя. //Гомоморфизм полей// вводится также естественным образом: как отображение {f}, такое что {f(a+b)=f(a)+f(b)}, {f(ab)=f(a)\cdot f(b)} и {f(1)=1}. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как {f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1}, следовательно, [[ядро-алгебра-|ядро]] любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является [[вложение|вложением]]. //Характеристика поля// — то же, что и [[характеристика-кольца|характеристика кольца]], наименьшее положительное целое число {n} такое, что сумма {n} копий единицы равна нулю: {\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.} Если такого числа не существует, то характеристика равна {\displaystyle 0} по определению. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия //простого поля// — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей. [[поле-галуа|Поля Галуа]] — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя [[галуа-эварист|Эвариста Галуа]]. =====Свойства===== * Характеристика поля всегда {\displaystyle 0} или [[простое-число|простое число]]. * Поле характеристики {\displaystyle 0} содержит подполе, [[изоморфизм|изоморфное]] полю [[рациональные-числа|рациональных чисел]] {\mathbb {Q}}. * Поле простой характеристики {p} содержит подполе, изоморфное полю вычетов {\mathbb {Z} _{p}}. * Количество элементов в конечном поле всегда равно {p^{n}} — степени простого числа. * При этом для любого числа вида {p^{n}} существует единственное (с точностью до [[изоморфизм-математика-|изоморфизма]]) поле из {p^{n}} элементов, обычно обозначаемое {\mathbb {F} _{p^{n}}}. * В поле нет [[делитель-нуля|делителей нуля]]. * Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является [[циклическая-группа|циклической]]. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля {\mathbb {F} _{q}} изоморфна {\mathbb {Z} _{q-1}}. * С точки зрения [[алгебраическая-геометрия|алгебраической геометрии]], поля — это точки, потому что их [[спектр-кольца|спектр]] состоит ровно из одной точки — [[идеал-математика-|идеала]] {0}. Действительно, поле не содержит других [[собственный-идеал|собственных идеалов]]: если в идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, [[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]], не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент //a//. Тогда [[главный-идеал|главный идеал]], порождённый //a//, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором [[максимальный-идеал|максимальном]] (а следовательно [[простой-идеал|простом]]) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки. =====Примеры полей===== * {\mathbb {Q}} — [[рациональные-числа|рациональные числа]], * {\mathbb {R}} — [[вещественные-числа|вещественные числа]], * {\mathbb {C}} — [[комплексные-числа|комплексные числа]], * {\mathbb {A}} — [[алгебраические-числа|алгебраические числа]] над полем рациональных чисел (подполе в поле {\mathbb {C}}). * Числа вида {a+b{\sqrt {2}}}, {a,b\in \mathbb {Q}}, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров [[квадратичное-поле|квадратичного поля]], которое образует подполе в {\mathbb {R}}. * {\mathbb {Z} _{p}} — поле [[сравнение-по-модулю-натурального-числа|вычетов]] по модулю {p}, где {p} — простое число. * {\mathbb {F} _{q}} — [[конечное-поле|конечное поле]] из {q=p^{k}} элементов, где {p} — простое число, {k} — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид. * {\mathbb {F} (x)} — поле рациональных функций вида {f(x)/g(x)}, где {f} и {g} — многочлены над некоторым полем {\mathbb {F}} (при этом {g\neq 0}, а {f} и {g} не имеют общих делителей, кроме констант). =====Литература===== * //Бурбаки Н.// Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965 * //P. Aluffi.// Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — [[служебная-источники-книг/0821847813|ISBN 0-8218-4781-3]]. Chapter VII. * Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». //Bulletin des Sciences mathématiques// **XIII**: 428. * //[[http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4076/ПОЛЕ|Поле (алгебра)]]// — статья из [[математическая-энциклопедия|Математической энциклопедии]]. Л. В. Кузьмин {{tag>"Теория полей"}}