Warning: session_name(): Cannot change session name when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 231

Warning: session_set_cookie_params(): Cannot change session cookie parameters when session is active in /home/stalko/rodina-ru.com/docs/dokuwiki/inc/init.php on line 232
======Эпиморфизм====== **Эпиморфи́зм** в [[теория-категорий|категории]] ― [[морфизм]] {m:A\to B}, такой что из всякого равенства {f\circ m=h\circ m} следует {f=h} (другими словами, на {m} можно сокращать справа). Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия [[сюръективность|сюръективной функции]], но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие [[мономорфизм|мономорфизма]]. =====Примеры===== Каждый морфизм в [[конкретная-категория|конкретной категории]], которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых [[модуль-над-кольцом|модулей]] и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение **Z** → **Q** — несюръективный эпиморфизм. Чтобы доказать, что он является эпиморфизмом, достаточно заметить, что любой гомоморфизм из **Q** определяется своими значениями на целых числах (точнее, образом единицы). Аналогичным образом показывается, что естественный гомоморфизм из кольца в одну из его [[локализация-кольца|локализаций]] является эпиморфизмом. =====Свойства===== Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм //j// : //Y// → //X//, такой что //fj// = id_//Y//, то легко проверить, что //f// — эпиморфизм, домножив на //j// справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция //fg// двух морфизмов — эпиморфизм, то //f// должен быть эпиморфизмом. Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при [[эквивалентность-категорий|эквивалентности категорий]], //f// является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой. Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: //f// : //X// → //Y// — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение {\begin{matrix}\operatorname {Hom}(Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom}(X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}} [[инъективность|инъективно]] для всех //Z//. =====См. также===== * [[мономорфизм]] * [[подобъект]] =====Литература===== * //С. Мак Лейн// Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998]. * Bergman, George M. (1998), //An Invitation to General Algebra and Universal Constructions//, Harry Helson Publisher, Berkeley. [[служебная-источники-книг/0965521141|ISBN 0-9655211-4-1]]. \\ {{tag>"Теория категорий"}}