Ассоциативная операция

Ассоциати́вная опера́ция — это бинарная операция $tex:{\circ}$ , обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

$tex:{(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ для любых элементов $tex:{x,\;y,\;z}$ .

Для ассоциативной операции результат вычисления $tex:{x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $tex:{x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при $tex:{n>2}$ в общем случае не определено.

Примерами ассоциативных операций являются:

сложение действительных чисел:

$tex:{(a+b)+c=a+(b+c)}$

умножение действительных чисел:

$tex:{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

композиция функций:

$tex:{(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}$

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

История

Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году .

Содержание

Ассоциативная операция

История

См. также

Ссылки