Инструменты пользователя

Инструменты сайта


мономорфизм

Мономорфизм

Мономорфи́змморфизм tex:{m:A\to B} категории tex:{\mathcal  C}, такой что из всякого равенства tex:{m\circ f=m\circ h} следует, что tex:{f=h} (другими словами, на tex:{m} можно сокращать слева). Часто мономорфизм из X в Y обозначают tex:{X\hookrightarrow Y}.

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. Отметим, что для того, чтобы стрелка была изоморфизмом, в общем случае не достаточно её мономорфности и эпиморфности.

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостью

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если l — левый обратный к f (то есть tex:{l\circ f=\operatorname {id}_{{X}}}), то

tex:{f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории Grp всех групп, если H является подгруппой G, то вложение f : HG — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм f : GH существует, только если у H есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм tex:{f:X\to Y} является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение tex:{f_{{*}}:{\mathrm  {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm  {Hom}}(Z,Y)}, определенное как tex:{f_{{*}}h=f\circ h} для морфизмов tex:{h:Z\to X}, инъективно для всех Z.

Связь с инъективностью

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории Div делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации q : QQ/Z.

Типы мономорфизмов

  • Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
  • Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм. Более подробно, если экстремальный мономорфизм представлен в виде g ∘ e с эпиморфизмом e, то e — изоморфизм.

Терминология

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн, Саундерс попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и «monic maps» — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

Литература

См. также

мономорфизм.txt · Последние изменения: 2017/02/02 11:23 (внешнее изменение)

Taobao RU