Инструменты пользователя

Инструменты сайта


подобъект

Подобъект

В теории категорий подобъект — это, грубо говоря, объект, который содержится в другом объекте категории. Определение обобщает более старые понятия подмножества в теории множеств и подгруппы в теории групп.1) Поскольку «настоящее» строение объектов в теории категорий не рассматривается, определение опирается на использование морфизмов, а не «элементов».

Определение

Пусть A — объект некоторой категории. Имея два мономорфизма:

  • u: SA и
  • v: TA

с общим образом A, будем говорить что uv если u «пропускается через» v, то есть если существует морфизм w: ST, такой что u = vw. Определим следующее бинарное отношение:

  • uv тогда и только тогда, когда uv и vu.

Это отношение эквивалентности на мономорфизмах с образом A, назовём его классы эквивалентности подобъектами A. Мономорфизмы с образом A и отношением ≤ образуют предпорядок, но определение подобъекта гарантирует, что подобъекты A образуют частично упорядоченное множество.

Двойственное понятие к подобъекту — факторобъект; то есть, чтобы получить определение факторобъекта, нужно заменить в определении выше «мономорфизм» на «эпиморфизм» и поменять направление всех стрелок.

Примеры

В категории множеств подобъекты A соответствуют подмножествам A, или, точнее, классу всех вложений множеств, равномощных данному, в данное подмножество. То же верно в категории групп и в некоторых других категориях.

Литература

1)
Mac Lane, p. 126
подобъект.txt · Последние изменения: 2017/02/02 11:24 (внешнее изменение)

Newfrog WW