Инструменты пользователя

Инструменты сайта


алгебраическое-дополнение

Алгебраическое дополнение

Нахождение дополнительного минора и алгебраического дополнения

Алгебраическим дополнением элемента tex:\small {{\ a_{{ij}}}} матрицы tex:\small {{\ A}} называется число

tex:\small {{\ A_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}M_{{ij}}}},

где tex:\small {{\ M_{{ij}}}} — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы tex:\small {{\ A}} путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы tex:\small {{A}} может быть представлен в виде суммы

tex:\small {{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}}

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть tex:\small {{\ \sum _{{j=1}}^{n}a_{{i_{1}j}}A_{{i_{2}j}}=\sum _{{i=1}}^{n}a_{{ij_{1}}}A_{{ij_{2}}}=0}} при tex:\small {{i_{1}\neq i_{2}}} и tex:\small {{j_{1}\neq j_{2}}}.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

  • заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
  • транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
  • разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также


алгебраическое-дополнение.txt · Последние изменения: 2017/02/03 10:33 (внешнее изменение)