Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Action unknown: addtobook
биекция

Биекция

Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Определение

Функция tex:{f:X\to Y} называется биекцией (и обозначается tex:{f:X\leftrightarrow Y}), если она:

  1. Переводит разные элементы множества tex:{X} в разные элементы множества tex:{Y} (инъективность). Иными словами,
    • tex:{\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)}.
  2. Любой элемент из tex:{Y} имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
    • tex:{\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}.


Примеры

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
  • Функция tex:{f:X\to Y} является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция tex:{f^{{-1}}:Y\to X} такая, что

tex:{\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x} и tex:{\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.}

  • Если функции tex:{f} и tex:{g} биективны, то и композиция функций tex:{g\circ f} биективна, в этом случае tex:{(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}}. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если tex:{g\circ f} биективна, то мы можем утверждать лишь, что tex:{f} инъективна, а tex:{g} сюръективна.

Применения

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

См. также

Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.  Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.


биекция.txt · Последние изменения: 2017/02/02 10:57 (внешнее изменение)