Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

<WRAP #content>
======Биекция======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru>[{{wiki:200px-bijection-svg.png|Биективная функция.}}]<wrap>**Биекция** — это [[отображение]], которое является одновременно и [[сюръекция|сюръективным]], и [[инъекция-математика-|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё **взаимно-однозначным отображением** (соответствием), **одно-однозначным отображением**.</wrap>

<wrap>Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются **[[мощность-множества|равномощными]]**. С точки зрения [[теория-множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы.</wrap>

<wrap>Взаимно-однозначное отображение [[конечное-множество|конечного множества]] в себя называется [[перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Определение=====
<wrap>[[функция-математика-|Функция]] </wrap><tex>{f:X\to Y}</tex><wrap> называется **биекцией** (и обозначается </wrap><tex>{f:X\leftrightarrow Y}</tex><wrap>), если она:</wrap>


  - Переводит разные элементы [[множество|множества]] <tex>{X}</tex> в разные элементы множества <tex>{Y}</tex> ([[инъекция-математика-|инъективность]]). Иными словами,
    * <tex>{\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)}</tex>.
  - Любой элемент из <tex>{Y}</tex> имеет свой прообраз ([[сюръекция|сюръективность]]). Иными словами,
    * <tex>{\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}</tex>.
<wrap>\\
</wrap>


=====Примеры=====

  * [[тождественное-отображение|Тождественное отображение]] <tex>{\mathrm  {id}}:\ X\to X</tex> на множестве <tex>{X}</tex> биективно.
  * <tex>{f(x)=x,\;f(x)=x^{3}}</tex> — биективные функции из <tex>{\mathbb {R}}</tex> в себя. Вообще, любой [[моном]] одной [[переменная-величина|переменной]] [[чётные-и-нечётные-числа|нечетной]] [[степень-многочлена|степени]] является биекцией из <tex>{\mathbb {R}}</tex> в себя.
  * <tex>{f(x)=e^{x}}</tex> — биективная функция из <tex>{\mathbb {R}}</tex> в <tex>{\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )}</tex>.
  * <tex>{f(x)=\sin x}</tex> не является биективной функцией, если считать её определённой на всём <tex>{\mathbb {R}}</tex>.

=====Свойства=====
[{{wiki:300px-bijective-composition-svg.png|Композиция [[инъективность|инъекции]] и [[сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.}}]
  * Функция <tex>{f:X\to Y}</tex> является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная-функция|обратная функция]] <tex>{f^{{-1}}:Y\to X}</tex> такая, что
<WRAP>
<tex>{\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x}</tex> и <tex>{\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.}</tex></WRAP>

  * Если функции <tex>{f}</tex> и <tex>{g}</tex> биективны, то и композиция функций <tex>{g\circ f}</tex> биективна, в этом случае <tex>{(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}}</tex>. Коротко: **[[композиция-функций|композиция]] биекций является биекцией.** Обратное, однако, неверно: если <tex>{g\circ f}</tex> биективна, то мы можем утверждать лишь, что <tex>{f}</tex> инъективна, а <tex>{g}</tex> сюръективна.

=====Применения=====

====В информатике====
<wrap>Организация связи «один к одному» между [[table-database-|таблицами]] [[реляционная-субд|реляционной БД]] на основе [[первичный-ключ|первичных ключей]].</wrap>


=====См. также=====

  * [[инъекция-математика-|Инъекция (математика)]]
  * [[сюръекция|Сюръекция]]
  * [[отображение|Отображение]]
  * [[гомоморфизм|Гомоморфизм]]
  * [[морфизм|Морфизм]]
  * [[эндоморфизм|Эндоморфизм]]
  * [[автоморфизм|Автоморфизм]]
  * [[мономорфизм|Мономорфизм]]
  * [[эпиморфизм|Эпиморфизм]]
  * [[биморфизм|Биморфизм]]
  * [[изоморфизм-математика-|Изоморфизм]]
  * [[синоним|Синоним]]
  * [[подобие|Подобие]]
  * [[аналогия|Аналогия]]

=====Литература=====

  * <wrap>//Н. К. Верещагин, А. Шень.// [[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf|Часть 1. Начала теории множеств]] <nowiki>//</nowiki> Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — <wrap>М</wrap>.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2002. — 128 с.</wrap>
  * <wrap>//Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. // Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.</wrap>
<wrap>\\
</wrap>

</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Типы функций" "Общие понятия о функциях"}}

Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама