Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
<WRAP #content>
======Гомология (математика)======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Гомоло́гии** — одно из основных понятий [[алгебраическая-топология|алгебраической топологии]].</wrap>

<wrap>Даёт возможность строить алгебраический объект ([[группа-математика-|группу]] или [[кольцо-математика-|кольцо]]), который является [[топологический-инвариант|топологическим инвариантом]] пространства.</wrap>

<wrap>Замкнутая линия на поверхности гомологична нулю, если она является границей некоторого её участка. Пример: на сфере любая замкнутая линия гомологична нулю, группа </wrap><tex>{\displaystyle H_{1}(S^{2})=0}</tex><wrap>. На [[тор-поверхность-|торе]] существуют замкнутые линии, не гомологичные нулю, группа </wrap><tex>{\displaystyle H_{1}(S^{1}\times S^{1})}</tex><wrap> не тривиальна.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Симплициальные гомологии=====
<wrap>Симплициальные гомологии определяются для полиэдров путём построения симплициального комплекса.</wrap>


=====Сингулярные гомологии=====
<wrap>Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.</wrap>

<wrap>Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.</wrap>

<wrap>Пусть </wrap><tex>{X}</tex><wrap> — любое [[топологическое-пространство|топологическое пространство]].</wrap>

<wrap>//Сингулярный симплекс// размерности </wrap><tex>{k}</tex><wrap> — это пара </wrap><tex>{(\Delta ^{k},f)}</tex><wrap> где </wrap><tex>{\Delta ^{k}}</tex><wrap> — это [[стандартный-симплекс|стандартный симплекс]] </wrap><tex>{\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle}</tex><wrap>, а </wrap><tex>{f}</tex><wrap> — его непрерывное отображение в </wrap><tex>{X}</tex><wrap>; </wrap><tex>{f:\Delta ^{k}\to X}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Группу //сингулярных цепей// определим как множество формальных линейных комбинаций:</wrap>

<WRAP>
<tex>{c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})}</tex> с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами <tex>{z_{i}}</tex>.</WRAP>
<wrap>При этом для линейного отображения </wrap><tex>{s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta _{k}}</tex><wrap> определяемого перестановкой </wrap><tex>{\pi}</tex><wrap> точек </wrap><tex>{(a_{0},a_{1},...~a_{k})}</tex><wrap> полагают </wrap><tex>{(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>//Граничный оператор// </wrap><tex>{\partial}</tex><wrap> определяется на сингулярном симплексе </wrap><tex>{(\Delta _{k},f)}</tex><wrap> так:</wrap>

<WRAP>
<tex>{\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}</tex>,</WRAP>
<wrap>где </wrap><tex>{\Delta _{k-1}}</tex><wrap> стандартный </wrap><tex>{(k-1)}</tex><wrap>-мерный симплекс, а </wrap><tex>{f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}</tex><wrap>, где </wrap><tex>{\epsilon _{i}}</tex><wrap> — это его отображение на </wrap><tex>{i}</tex><wrap>-ю грань стандартного симплекса </wrap><tex>{\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что </wrap><tex>{\partial \partial=0}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Как и раньше вводятся понятия //сингулярных циклов// — таких цепей </wrap><tex>{c_{k}}</tex><wrap>, что </wrap><tex>{\partial {c_{k}}=0}</tex><wrap>, и //границ// — цепей </wrap><tex>{c_{k}=\partial {c_{k+1}}}</tex><wrap> для некоторого </wrap><tex>{c_{k+1}}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>[[факторгруппа|Факторгруппа]] группы циклов по группе границ </wrap><tex>{H_{k}=Z_{k}/B_{k}}</tex><wrap> называется //группой сингулярных гомологий//.</wrap>


====Пример====
<wrap>Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки </wrap><tex>{X=*}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение </wrap><tex>{f^{k}:\Delta ^{k}\to *}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Граница симплекса </wrap><tex>{\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})}</tex><wrap>, где все </wrap><tex>{f_{i}^{k-1}}</tex><wrap> равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим </wrap><tex>{f^{k-1}}</tex><wrap>).</wrap>

<wrap>Значит:</wrap>

<WRAP>
<tex>{\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}</tex>, если <tex>{k}</tex> нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);<tex>{\partial (\Delta ^{k},f^{k})=(\Delta ^{k-1},f^{k-1})}</tex>, если <tex>{k\not=0}</tex> и четно;<tex>{\partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}</tex>, если <tex>{k=0}</tex>.</WRAP>
<wrap>Отсюда получаем для нулевой размерности: </wrap><tex>{Z_{0}=C_{0}=\mathbb {Z} ;\quad B_{0}=0;\quad H_{0}=\mathbb {Z}}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Для нечётной размерности </wrap><tex>{k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=\mathbb {Z} ;\quad B_{k}=\mathbb {Z} ;\quad H_{k}=0}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Для чётной размерности </wrap><tex>{k=2n\not=0:Z_{k}=0;\quad B_{k}=0;\quad H_{k}=0}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>То есть группа гомологий равна </wrap><tex>{\mathbb {Z}}</tex><wrap> для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.</wrap>

<wrap>Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.</wrap>


====История====
<wrap>Сингулярные гомологии были введены [[лефшец-соломон|Лефшецом]].</wrap>


=====Гомологии с коэффициентами в произвольных группах=====
<wrap>Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы </wrap><tex>{G}</tex><wrap>. То есть, вместо групп </wrap><tex>{C_{k}(X)}</tex><wrap> рассматривать группы </wrap><tex>{\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства </wrap><tex>{X}</tex><wrap> с коэффициентами в группе </wrap><tex>{G}</tex><wrap> обозначаются </wrap><tex>{H_{k}(X;G)}</tex><wrap>. Обычно применяют группу действительных чисел </wrap><tex>{\mathbb {R}}</tex><wrap>, рациональных чисел </wrap><tex>{\mathbb {Q}}</tex><wrap>, или циклическую группу вычетов по модулю </wrap><tex>{m}</tex><wrap> — </wrap><tex>{\mathbb {Z} _{m}}</tex><wrap>, причём обычно берётся </wrap><tex>{m=p}</tex><wrap> — простое число, тогда </wrap><tex>{\mathbb {Z} _{p}}</tex><wrap> является [[поле-алгебра-|полем]].</wrap>

<wrap>Другое описание. Применяя к комплексу </wrap><tex>{\displaystyle C_{*}(X)}</tex><wrap></wrap>

<WRAP>
<tex>{\displaystyle \ldots {\leftarrow {}}C_{n-1}(X){\leftarrow {}}C_{n}(X){\leftarrow {}}C_{n+1}(X){\leftarrow {}}\ldots }</tex></WRAP>
<wrap>[[функтор-математика-|функтор]] </wrap><tex>{\displaystyle \cdot \otimes G}</tex><wrap>, мы получим комплекс</wrap>

<WRAP>
<tex>{\displaystyle \ldots {\leftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\leftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\leftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\leftarrow {}}\ldots }</tex>,</WRAP>
<wrap>гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в </wrap><tex>{G}</tex><wrap>.</wrap>


=====Когомологии=====
<wrap>Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу </wrap><tex>{G}</tex><wrap>. То есть, пространство коцепей </wrap><tex>{C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Граничный оператор </wrap><tex>{\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}}</tex><wrap> определяется по формуле: </wrap><tex>{(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)}</tex><wrap> (где </wrap><tex>{x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}}</tex><wrap>). Для такого граничного оператора также выполняется</wrap>

<WRAP>
<tex>{\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}</tex>, а именно<tex>{(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}</tex>.</WRAP>
<wrap>Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия [[коцикл|коциклов]] </wrap><tex>{Z^{k}(X,G)=Ker\delta ^{k}}</tex><wrap>, кограниц </wrap><tex>{B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}}</tex><wrap> и когомологий </wrap><tex>{H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.</wrap>

<wrap>Если </wrap><tex>{G}</tex><wrap> — [[кольцо-алгебра-|кольцо]], то в группе когомологий </wrap><tex>{H^{*}(X,G)}</tex><wrap> определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или </wrap><tex>{\cup}</tex><wrap>-npоизведение), превращающее эту группу в [[градуированное-кольцо|градуированное кольцо]], называемое //кольцо когомологий//.</wrap>

<wrap>В случае, когда </wrap><tex>{X}</tex><wrap> — [[дифференцируемое-многообразие|дифференцируемое многообразие]], кольцо когомологий </wrap><tex>{H^{*}(X,\mathbb {R} )}</tex><wrap> может быть вычислено при помощи [[дифференциальная-форма|дифференциальных форм]] на </wrap><tex>{X}</tex><wrap> (см. [[когомологии-де-рама#-d1-82-d0-b5-d0-be-d1-80-d0-b5-d0-bc-d0-b0-d0-b4-d0-b5-d0-a0-d0-b0-d0-bc-d0.b0|Теорема де Рама]]).</wrap>

<wrap>Понятие когомологии было введено [[александер-джеймс-уэдделл|Александером]] и [[колмогоров-андрей-николаевич|Колмогоровым]].</wrap>


=====Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность=====
<wrap>Возьмём случай двух топологических пространств </wrap><tex>{Y\subset X}</tex><wrap>. Группа цепей </wrap><tex>{C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)}</tex><wrap> (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе </wrap><tex>{G}</tex><wrap>). //Относительными цепями// будут называться элементы [[факторгруппа|факторгруппы]] </wrap><tex>{C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}</tex><wrap>. Так как граничный оператор </wrap><tex>{d}</tex><wrap> на группе гомологий подпространства </wrap><tex>{Y}</tex><wrap> переводит </wrap><tex>{d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}</tex><wrap>, то можно определить на факторгруппе </wrap><tex>{C_{k}(X,Y)}</tex><wrap> граничный оператор (мы его обозначим так же) </wrap><tex>{d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Те относительные цепи, которые он переводит в </wrap><tex>{\displaystyle 0}</tex><wrap> будут называться //относительными циклами// </wrap><tex>{Z_{k}(X,Y)}</tex><wrap>, а цепи, которые являются его значениями — //относительными границами// </wrap><tex>{B_{k}(X,Y)}</tex><wrap>. Так как </wrap><tex>{dd=0}</tex><wrap> на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда </wrap><tex>{B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}</tex><wrap>. Факторгруппа </wrap><tex>{H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)}</tex><wrap> называется //группой относительных гомологий//.</wrap>

<wrap>Так как каждый абсолютный цикл в </wrap><tex>{H_{k}(X)}</tex><wrap> является также и относительным то имеем гомоморфизм </wrap><tex>{j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}</tex><wrap> По функториальному свойству вложение </wrap><tex>{i_{k}:Y\to X}</tex><wrap> приводит к гомоморфизму </wrap><tex>{i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>В свою очередь можно построить гомоморфизм </wrap><tex>{d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}</tex><wrap>, который мы определим следующим образом. Пусть </wrap><tex>{c_{k}\in C_{k}(X,Y)}</tex><wrap> — относительная цепь, которая определяет цикл из </wrap><tex>{H_{k}(X,Y)}</tex><wrap>. Рассмотрим её как абсолютную цепь в </wrap><tex>{C_{k}(X)}</tex><wrap> (с точностью до элементов </wrap><tex>{C_{k}(Y)}</tex><wrap>). Так как это относительный цикл, то </wrap><tex>{d_{k}c}</tex><wrap> будет равен нулю с точностью до некоторой цепи </wrap><tex>{c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}</tex><wrap>. Положим </wrap><tex>{d_{*k}}</tex><wrap> равным классу гомологий цепи </wrap><tex>{c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Если мы возьмём другую абсолютную цепь </wrap><tex>{c'_{k}\in C_{k}(X)}</tex><wrap>, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь </wrap><tex>{c=c'+u}</tex><wrap>, где </wrap><tex>{u\in C_{k}(Y)}</tex><wrap>. Имеем </wrap><tex>{d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u}</tex><wrap>, но так как </wrap><tex>{d_{k}u}</tex><wrap> является границей в </wrap><tex>{Z_{k-1}(Y)}</tex><wrap> то </wrap><tex>{d_{k}c}</tex><wrap> и </wrap><tex>{d_{k}c'}</tex><wrap> определяют один и тот же элемент в группе гомологий </wrap><tex>{H_{k-1}(Y)}</tex><wrap>. Если взять другой относительный цикл </wrap><tex>{c''}</tex><wrap>, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий </wrap><tex>{c=c''+b}</tex><wrap>, где </wrap><tex>{b}</tex><wrap> — относительная граница, то в силу того, что </wrap><tex>{b}</tex><wrap> граница для относительных гомологий </wrap><tex>{b=d_{k+1}x+v}</tex><wrap>, где </wrap><tex>{v\in C_{k}(Y)}</tex><wrap> , отсюда </wrap><tex>{d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}</tex><wrap>, но </wrap><tex>{dd=0}</tex><wrap>, а </wrap><tex>{d_{k}v}</tex><wrap> — граница в </wrap><tex>{Z_{k-1}(Y)}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Поэтому класс гомологий </wrap><tex>{d_{*k}c_{k}}</tex><wrap> определен однозначно. Ясно по линейности оператора </wrap><tex>{d_{*k}}</tex><wrap>, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:</wrap>

<WRAP>
<tex>{i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}</tex>;<tex>{j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}</tex> и<tex>{d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}</tex>;<WRAP>
<tex>{...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...}</tex></WRAP>
</WRAP>
<wrap>Можно доказать, что эта последовательность [[точная-последовательность|точна]], то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.</wrap>


=====Аксиомы Стинрода — Эйленберга=====
<wrap>Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например [[клеточные-гомологии|клеточные гомологии]], [[когомологии-александрова-чеха|Когомологии Александрова — Чеха]], [[когомологии-де-рама|когомологии де Рама]] и т. д. [[стинрод-норман|Стинрод]] и [[эйленберг-самуэль|Эйленберг]] определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар </wrap><tex>{D}</tex><wrap> топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:</wrap>


  - Если <tex>{(X,Y)\in D,}</tex> то <tex>{(X,X)\in D,}</tex> <tex>{(X,\emptyset )\in D,}</tex> <tex>{(Y,Y)\in D}</tex> и <tex>{\displaystyle (Y,\emptyset )\in D}</tex>.
  - Если <tex>{\displaystyle (X,Y)\in D}</tex>, то и <tex>{\displaystyle (X\times I,Y\times I)\in D}</tex>, где <tex>{I}</tex> — замкнутый интервал [0,1].
  - <tex>{\displaystyle (*,\emptyset )\in D}</tex>, где <tex>{*}</tex> — одноточечное пространство.
<wrap>В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа </wrap><tex>{H_{k}(X,Y)}</tex><wrap> и непрерывному отображению пар </wrap><tex>{f\colon (X,Y)\to (X',Y')}</tex><wrap> соответствует гомоморфизм </wrap><tex>{f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}</tex><wrap> (Пространство </wrap><tex>{X}</tex><wrap> отождествляется с парой </wrap><tex>{(X,\emptyset )}</tex><wrap>), а </wrap><tex>{H_{k}(X)}</tex><wrap> с </wrap><tex>{H_{k}(X,\emptyset )}</tex><wrap>), причём выполняются следующие аксиомы:</wrap>


  - Тождественному отображению пары <tex>{id}</tex> соответствует тождественный гомоморфизм <tex>{\displaystyle id_{*k}}</tex>.
  - <tex>{(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}}</tex> (//функториальность//)
  - Определен граничный гомоморфизм <tex>{\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}</tex>, причём если <tex>{f\colon (X,Y)\to (X',Y')}</tex>, то для соответствующего гомоморфизма <tex>{f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}</tex> верно <tex>{d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}}</tex> для любой размерности <tex>{k}</tex>.
  - Пусть <tex>{i\colon Y\to X}</tex> и <tex>{j\colon X\to (X,Y)}</tex> — вложения, <tex>{i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}</tex> и <tex>{j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}</tex> — соответствующие гомоморфизмы, <tex>{d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}</tex> — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность\\
<tex>{\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots}</tex>\\
точна (//аксиома точности//).
  - Если отображения <tex>{f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')}</tex> [[гомотопия|гомотопны]], то соответствующие гомоморфизмы равны <tex>{f_{*k}=g_{*k}}</tex> для любой размерности <tex>{k}</tex> (//аксиома гомотопической инвариантности//).
  - Пусть <tex>{U\subset X}</tex> — открытое подмножество <tex>{X}</tex>, причём его замыкание содержится во внутренности множества <tex>{Y}</tex>, тогда если пары <tex>{(X\setminus U,Y\setminus U)}</tex> и <tex>{(X,Y)}</tex> принадлежат допустимому классу, то для любой размерности <tex>{k}</tex> вложению <tex>{(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)}</tex> соответствует изоморфизм <tex>{H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)}</tex> (//аксиома вырезания//).
  - Для одноточечного пространства <tex>{H_{k}(*)=0}</tex> для всех размерностей <tex>{k>0}</tex>. Абелева группа <tex>{G=H_{0}(*)}</tex> называется группой коэффициентов (//аксиома размерности//).
<wrap>Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе </wrap><tex>{G}</tex><wrap> их отображения и граничный гомоморфизм </wrap><tex>{d_{*}}</tex><wrap> удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.</wrap>

<wrap>Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.</wrap>

<wrap>Необходимо только иметь в виду, что отображению </wrap><tex>{f\colon (X,Y)\to (X',Y')}</tex><wrap> соответствует </wrap><tex>{f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)}</tex><wrap> (//контравариантность//) и что кограничный гомоморфизм </wrap><tex>{\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)}</tex><wrap> увеличивает размерность.</wrap>


=====Экстраординарные гомологии=====
<wrap>В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.</wrap>

<wrap>Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей </wrap><tex>{k>0}</tex><wrap>, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются [[k-теория|K-теория]] [[атья-майкл-фрэнсис|Атьи]] (надо отметить важный вклад в эту теорию [[хирцебрух-фридрих|Хирцебруха]], [[ботт-рауль|Ботта]] и [[адамс-джон-фрэнк|Адамса]]) и теория [[бордизм|бордизмов]] [[том-рене|Р. Тома]].</wrap>


=====См. также=====

  * [[гомологическая-алгебра|Гомологическая алгебра]]
  * [[гомотопия|Гомотопия]]
  * [[фундаментальный-класс|Фундаментальный класс]]

=====Литература=====

  * //Вик Дж. У.// Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — <wrap>М</wrap>.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2005
  * //Дольд А.// Лекции по алгебраической топологии. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1976
  * //Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.// Современная геометрия: Методы теории гомологий. — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1984
  * //Зейферт Г., Трельфалль В.// Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  * //Лефшец С.// Алгебраическая топология. — <wrap>М</wrap>.: ИЛ, 1949
  * //Новиков П. С.// Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  * //Прасолов В. В.// Элементы теории гомологий. — <wrap>М</wrap>.: [[мцнмо|МЦНМО]], 2006
  * //Свитцер Р. М.// Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1985
  * //Спеньер Э.// Алгебраическая топология. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1971
  * //Стинрод Н., Эйленберг С.// Основания алгебраической топологии. — <wrap>М</wrap>.: Физматгиз, 1958
  * //Фоменко А. Т., Фукс Д. Б.// Курс гомотопической топологии. — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1989
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Алгебраическая топология" "Гомологическая алгебра"}}
Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама
