Инструменты пользователя

Инструменты сайта


No renderer 'timeline' found for mode 'timeline'
группа-математика

Группа (математика)

Гру́ппа в математикемножество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп1).

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, число с противоположным знаком является обратным элементом, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц2).

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы3).

Современная теория групп является активным разделом математики4). Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве5). С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией tex:{*}: tex:{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } называется группой tex:{\displaystyle (\mathrm {G} ,*)}, если выполнены следующие аксиомы:

  1. наличие нейтрального элемента: tex:{\exists e\in G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)};
  2. наличие обратного элемента: tex:{\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)}.

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной * :

tex:{\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\wedge (y*a=b)}.

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами6).

Связанные определения

  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
    • Пары элементов tex:{a,\;b}, для которых выполнено равенство tex:{a*b=b*a}, называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество tex:{H} группы tex:{G}, которое является группой относительно операции, определённой в tex:{G}.
  • Порядок группы tex:{(G,*)} — мощность tex:{G} (то есть число её элементов).
    • Если множество tex:{G} конечно, то группа называется конечной.
  • Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп tex:{f:(G,*)\to (H,\times )} называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию tex:{f(a*b)=f(a)\times f(b)}.
  • Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп tex:{f:(G,*)\to (H,\times )} и гомоморфизм групп tex:{g : (H,\times) \to (G,*)}, такие что tex:{f(g(a))=a} и tex:{g(f(b))=b}, где tex:{b\in G} и tex:{a\in H}. В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
  • Для элемента tex:{g\in G} левый смежный класс по подгруппе tex:{H} — множество tex:{gH=\{gh|h\in H\}}, правый смежный класс по подгруппе tex:{H} — множество tex:{Hg=\{hg|h\in H\}}.
  • Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого tex:{g\in G}, tex:{gH=Hg}.
  • Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают tex:{\displaystyle a\cdot b} или tex:{\displaystyle ab};
  • нейтральный элемент обозначается «tex:{\displaystyle 1}» или tex:{\displaystyle e} и называется единицей;
  • обратный к tex:{\displaystyle a} элемент записывается как tex:{\displaystyle a^{-1}}.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу tex:{\displaystyle \mathrm {G} } при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: tex:{\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}.

Кратные произведения tex:{\displaystyle aa}, tex:{\displaystyle aaa}, tex:{...} записывают в виде натуральных степеней tex:{a^2}, tex:{\displaystyle a^{3}},tex:{...}7). Для элемента tex:{a} корректно8) определена целая степень, записывается следующим образом: tex:{a^{0}=e}, tex:{\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «tex:{\displaystyle a+b}» и называют получившийся элемент суммой элементов tex:{\displaystyle a} и tex:{\displaystyle b};
  • нейтральный элемент обозначают как «tex:{\displaystyle 0}» и называют его нулём;
  • обратный элемент к tex:{\displaystyle a} обозначают как «tex:{\displaystyle -a}» и называют его противоположным к tex:{\displaystyle a} элементом;
  • запись сокращают следующим образом: tex:{\displaystyle a+(-b)=a-b};
  • выражения вида tex:{\displaystyle a+a}, tex:{\displaystyle a+a+a},tex:{\displaystyle -a-a} обозначают символами tex:{2a}, tex:{\displaystyle 3a}, tex:{\displaystyle -2a}.

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу tex:{\displaystyle \mathrm {G} } при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: tex:{\displaystyle (\mathrm {G} ,+)}9).

Примеры

Существует гигантское количество примеров групп, а также их применений в современном мире. Множество целых чисел, связанные операцией сложения, является аддитивной группой или группой по сложению. Множество рациональных чисел, не включающее tex:{\displaystyle 0}, с операцией умножения является мультипликативной группой. Эти группы положили начало возникновению важнейших конструкций в разделе общей алгебры. Группы применяются в различных областях математики. Математические объекты часто связываются с группами для дальнейшего изучения их свойств. Например, Анри Пуанкаре основал топологию, введя понятие фундаментальной группы10). Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Часы показывают время по модулю 12.

В модульной арифметике складывают два целых числа, а полученную сумму делят на целое положительное число, называемое впоследствии модулем. Результатом модульной операции является остаток от деления. Для любого модуля tex:{n} множество целых чисел от tex:{\displaystyle 0} до tex:{n-1} образует группу по сложению. Обратным элементом к tex:{a} является число tex:{\displaystyle a^{-1}=n-a}, нейтральный элемент — tex:{\displaystyle 0}. Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом11).

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

  • Целые числа с операцией сложения. tex:{(\mathbb{Z},+)} — коммутативная группа с нейтральным элементом tex:{\displaystyle 0}. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, tex:{a=2}, тогда tex:{\displaystyle a\cdot b=1} то есть tex:{b=1/2}. Обратный элемент не является целым числом12).
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица13).
  • Свободная группа с двумя образующими (tex:{F_{2}}) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов tex:{\displaystyle a}, tex:{a^{{-1}}}, tex:{b} и tex:{b^{{-1}}} таких, что tex:{\displaystyle a} не появляется рядом с tex:{a^{{-1}}} и tex:{b} не появляется рядом с tex:{b^{{-1}}}. Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар tex:{\displaystyle aa^{-1}}, tex:{\displaystyle a^{-1}a}, tex:{\displaystyle bb^{-1}} и tex:{b^{{-1}}b}14).
  • Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы tex:{S_{n}} для множества из tex:{n} элементов равна tex:{n!}. При tex:{n\geq 3} эта группа не является абелевой15). Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли)16)17).
6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу
  • Циклические группы состоят из степеней tex:{\displaystyle <a>=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}}одного элемента tex:{\displaystyle a}. Элемент tex:{\displaystyle a} называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из tex:{n} комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел tex:{z}, удовлетворяющих условию tex:{|z^n|=1} и операции умножения комплексных чисел18). Мультипликативная конечная группа tex:{\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )} также является циклической. Например, tex:{3} является образующим элементом группы tex:{\displaystyle \mathrm {G} } при tex:{n=5}:

tex:{\begin{align}
3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\
3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\
3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\
3^4 &\equiv 1 \pmod 5\,
\end{align}}

  • Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы tex:{S_{{48}}}, элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика. Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент19).
  • Группы Галуа. Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. Например, решение квадратного уравнения tex:{ax^{2}+bx+c=0} даёт корни: tex:{x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.} Подобная формула есть для уравнения третьей и четвёртой степени, но не существует для полиномиального уравнения степени tex:{5} и выше20).

Простейшие свойства

  • Для каждого элемента tex:{a} обратный элемент tex:{a^{{-1}}} единственен.
  • Нейтральный элемент единственен:
    • Если tex:{\displaystyle e_{1},e_{2}}— нейтральные, то tex:{\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}}.
  • tex:{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}.
  • tex:{\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}.
  • tex:{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}.
  • tex:{\displaystyle e^{n}=e}, для любого tex:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }21).
  • tex:{(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}}.
  • Верны законы сокращения:

    tex:{c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b},tex:{a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b}.

  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент22).
  • Группа содержит единственное решение tex:{\displaystyle x} любого уравнения tex:{\displaystyle x\cdot c=b} или tex:{\displaystyle c\cdot x=b}; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление»23).
  • Пересечение двух подгрупп группы tex:{\displaystyle \mathrm {G} } есть подгруппа группы tex:{\displaystyle \mathrm {G} }24).
  • Теорема Лагранжа: если tex:{\displaystyle \mathrm {G} } — группа конечного порядка tex:{\displaystyle g}, то порядок tex:{\displaystyle g_{1}} любой её подгруппы tex:{\displaystyle \mathrm {G_{1}} } является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок25).
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок30). Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» (англ. «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1»)31).

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году32).

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1798). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Кумера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе33).

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870)34). В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса35).

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики36)37)38).

Вариации и обобщения

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств)43).

Кольца

Кольцомножество tex:{\displaystyle K}, на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца tex:{\displaystyle 1} называется единицей, если выполнено условие: tex:{\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}, где tex:{\displaystyle a} — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть tex:{\displaystyle a\cdot b=-b\cdot a}) в силу свойств векторного умножения44): tex:{\displaystyle a\times b+b\times a=0}.

Поля

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо tex:{F} с единицей, причём относительно сложения tex:{F} образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле tex:{\displaystyle a\cdot b=0} только при tex:{\displaystyle a=0} и/или tex:{\displaystyle b=0}45).

Топологические группы

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы tex:{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } и операция взятия обратного элемента tex:{\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии46). Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top47).

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа действительных чисел tex:{\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}, мультипликативная группа ненулевых действительных чисел tex:{\displaystyle (\mathbb {R^{*}} ,\cdot )}, полная линейная группа tex:{\displaystyle GL(n)} порядка tex:{n}, специальная линейная группа tex:{\displaystyle SL(n)} порядка tex:{n}, ортогональная группа tex:{\displaystyle O(n)} порядка tex:{n}, специальная ортогональная группа tex:{\displaystyle SO(n)} порядка tex:{n}, унитарная группа tex:{\displaystyle U(n)}, специальная унитарная группа tex:{\displaystyle SU(n)} порядка tex:{n}48).

Группы Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы tex:{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } и операция взятия обратного элемента tex:{\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} } оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная tex:{n}-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности tex:{\displaystyle 2n}49).

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют50) изометрии вида tex:{\displaystyle \mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E} }, где tex:{\displaystyle \mathrm {E} }евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая tex:{\displaystyle Is(\mathrm {E} )}51), является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства tex:{\displaystyle \mathrm {E} }, обозначаемой tex:{\displaystyle Aff(\mathrm {E} )}52).

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике53).

См. также

Литература

Популярная литература

Научная литература

1) , 23)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
2)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9-14. — 288 с. — 11 800 экз.
3) , 30) , 32) , 33) , 35)
Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195-215. — DOI:10.2307/2690312.
4)
Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
5) , 36)
Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
7)
Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
8)
Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
9) , 21)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
10)
Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
11)
М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и С++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
12) , 13) , 16)
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
14)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
15)
Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
17)
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
18)
Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
20)
Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
22)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
25)
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
26)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
27)
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
28)
Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
29)
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
31)
Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40–47.
34)
Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
37)
Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728-735.
38)
Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2-5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — DOI:10.1007/978-1-84800-988-2
39)
Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
40)
Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
41) , 42)
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
43) , 47)
Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
44)
Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
45)
Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
46)
Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
48)
Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
49) , 53)
Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
50)
Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
51)
Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
52)
Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.
группа-математика.txt · Последние изменения: 2017/02/02 14:22 (внешнее изменение)