Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
<WRAP #content>
======Изоморфизм======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru>
{|
|
<ssvg2png>wiki:svg:graph-isomorphism-a.svg</ssvg2png> <ssvg2png>wiki:svg:graph-isomorphism-b.svg</ssvg2png>
|-
| |
Пример двух изоморфных графов. Изоморфизм ставит в соответствие вершинам одного графа вершины другого графа того же цвета: две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда вершины тех же цветов соединены ребром в другом графе.
|}
<wrap>**Изоморфи́зм** (от [[древнегреческий-язык|др.-греч.]] <wrap :grc><wrap>ἴσος</wrap></wrap> — «равный, одинаковый, подобный» и <wrap :grc><wrap>μορφή</wrap></wrap> — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах [[математика|математики]]. Изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой [[алгебраическая-система|структурой]] (например, для [[группа-математика-|групп]], [[кольцо-алгебра-|колец]], [[линейное-пространство|линейных пространств]] и т. п.). В общих чертах его можно описать так: обратимое отображение ([[биекция]]) между двумя множествами, наделёнными структурой, называется изоморфизмом, если оно сохраняет эту структуру. Если между такими структурами существует изоморфизм, то они называются **изоморфными**. Изоморфизм всегда задаёт [[отношение-эквивалентности|отношение эквивалентности]] на классе таких структур.</wrap>

<wrap>Так, например, два [[граф-математика-|графа]] называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).</wrap>

<wrap>В общем случае, объекты, между которыми существует изоморфизм, являются «одинаково устроенными» в смысле этой структуры.</wrap>

<wrap>Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество </wrap><tex>{\mathbb {R}}</tex><wrap> всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество </wrap><tex>{\mathbb  R}_{+}</tex><wrap> положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение </wrap><tex>{x\mapsto \exp(x)}</tex><wrap> в этом случае является изоморфизмом.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Общая алгебра=====
<wrap>В [[общая-алгебра|общей алгебре]] изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является [[гомоморфизм|гомоморфизмом]]. Ниже приводятся несколько примеров.</wrap>


====Группы====
<wrap>Пусть </wrap><tex>{G}</tex><wrap> и </wrap><tex>{H}</tex><wrap> — две [[группа-математика-|группы]]. [[биекция|Биекция]] </wrap><tex>{\displaystyle f:G\to H}</tex><wrap> называется изоморфизмом, если для любых </wrap><tex>{a,\;b\in G}</tex><wrap></wrap>

<WRAP>
<tex>{f(a)f(b)=f(ab)}</tex>.</WRAP>
<wrap>Если группа является [[топологическая-группа|топологической]], добавляется условие [[гомеоморфизм|гомеоморфности]] соответствующих топологических пространств.((Л. С. Понтрягин //Непрерывные группы// стр. 392))</wrap>


====Поля====
<wrap>Пусть </wrap><tex>{F_{1}}</tex><wrap> и </wrap><tex>{F_{2}}</tex><wrap> — [[поле-алгебра-|поля]]. [[биекция|Биекция]] </wrap><tex>{f:F_{1}\to F_{2}}</tex><wrap> называется **изоморфизмом**, если для любых </wrap><tex>{a,b\in F_{1}}</tex><wrap> выполняется</wrap>


  - <tex>{f(a)+f(b)=f(a+b)}</tex>,
  - <tex>{f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)}</tex>.

=====Теория множеств=====
<wrap>В [[теория-множеств|теории множеств]] любая [[биекция]] является изоморфизмом.</wrap>


=====Изоморфизм в теории категорий=====
<wrap>В [[теория-категорий|теории категорий]] изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм </wrap><tex>{\varphi}</tex><wrap>, для которого существует такой морфизм </wrap><tex>{\varphi ^{{-1}}}</tex><wrap>, что композиции </wrap><tex>{\varphi ^{{-1}}\circ \varphi}</tex><wrap> и </wrap><tex>{\varphi \circ \varphi ^{{-1}}}</tex><wrap> — тождественные морфизмы.</wrap>


=====Теория операторов/Функциональный анализ=====
<wrap>Ограниченный линейный оператор </wrap><tex>{T}</tex><wrap> между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число </wrap><tex>{c}</tex><wrap> такое, что </wrap><tex>{\parallel {Tx}\parallel \ge c\parallel x\parallel}</tex><wrap> для всех векторов </wrap><tex>{x}</tex><wrap>. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что </wrap><tex>{T}</tex><wrap> является изоморфизмом тогда и только тогда, когда </wrap><tex>{T}</tex><wrap> обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.</wrap>


=====Теория графов=====
<wrap>Граф </wrap><tex>{G}</tex><wrap> называется изоморфным графу </wrap><tex>{H}</tex><wrap>, если существует [[биекция]] </wrap><tex>{f}</tex><wrap> из множества вершин графа </wrap><tex>{G}</tex><wrap> в множество вершин графа </wrap><tex>{H}</tex><wrap>, обладающая следующим свойством: если в графе </wrap><tex>{G}</tex><wrap> есть ребро из вершины </wrap><tex>{A}</tex><wrap> в вершину </wrap><tex>{B}</tex><wrap>, то в графе </wrap><tex>{H}</tex><wrap> должно быть ребро из вершины </wrap><tex>{f(A)}</tex><wrap> в вершину </wrap><tex>{f(B)}</tex><wrap> и наоборот — если в графе </wrap><tex>{H}</tex><wrap> есть ребро из вершины </wrap><tex>{A}</tex><wrap> в вершину </wrap><tex>{B}</tex><wrap>, то в графе </wrap><tex>{G}</tex><wrap> должно быть ребро из вершины </wrap><tex>{f^{-1}(A)}</tex><wrap> в вершину </wrap><tex>{f^{-1}(B)}</tex><wrap>. В случае [[ориентированный-граф|ориентированного графа]] эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае [[взвешенный-граф|взвешенного графа]] биекция также должна сохранять вес ребра.</wrap>

<wrap>В [[теория-вычислительной-сложности|теории вычислительной сложности]] до сих пор является открытым вопрос о сложности [[изоморфизм-графов|задачи изоморфности графов]]. На данный момент не доказана ни её принадлежность [[класс-p|классу]] </wrap><tex>{P}</tex><wrap>, ни её </wrap><tex>{NP}</tex><wrap>[[np-полная-задача|-полнота]].</wrap>


=====Связанные определения=====
<wrap>Изоморфизм алгебраической системы на себя называется [[автоморфизм|автоморфизмом]].</wrap>


=====История=====
<wrap>Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к [[группа-математика-|группам]] и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.</wrap>


=====Вариации и обобщения=====

  * Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой [[николя-бурбаки|Бурбаки]] в их книге «Теория множеств» (Глава 4. Структуры).

=====См. также=====

  * [[гомоморфизм|Гомоморфизм]]
  * [[конгруэнция|Конгруэнция]]
  * [[функция-математика-|Функция]]
  * [[отображение|Отображение]]

=====Литература=====

  * //Ван дер Варден Б. Л.// [[http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b01c5ac1998137ac2817256edc019df9.djvu|Алгебра.]] СПб.: Лань, 2004, 624 стр., [[служебная-источники-книг/5811405529|ISBN 5-8114-0552-9]].
  * //[[понтрягин-лев-семёнович|Понтрягин, Лев Семёнович]]//. Непрерывные группы. — <wrap>М</wrap>.: [[урсс|УРСС]], — 2004. — 520с. — [[служебная-источники-книг/535400957x|ISBN 5-354-00957-X]].

=====Ссылки=====

  * <wrap #CITEREF.D0.97.D0.B5.D0.BC.D1.8F.D1.82.D1.87.D0.B5.D0.BD.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D0.9F._.D0.90.1890.E2.80.941907>//[[земятченский-пётр-андреевич|Земятченский П. А.]]// [[эсбе/изоморфизм|Изоморфизм]] <nowiki>//</nowiki> [[энциклопедический-словарь-брокгауза-и-ефрона|Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона]] : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — <wrap>СПб.</wrap>, 1890—1907.</wrap>
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Общая алгебра" "Теория категорий"}}
Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама
