Пример двух изоморфных графов. Изоморфизм ставит в соответствие вершинам одного графа вершины другого графа того же цвета: две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда вершины тех же цветов соединены ребром в другом графе.

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах математики. Изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой (например, для групп, колец, линейных пространств и т. п.). В общих чертах его можно описать так: обратимое отображение (биекция) между двумя множествами, наделёнными структурой, называется изоморфизмом, если оно сохраняет эту структуру. Если между такими структурами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Так, например, два графа называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).

В общем случае, объекты, между которыми существует изоморфизм, являются «одинаково устроенными» в смысле этой структуры.

Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение в этом случае является изоморфизмом.

Общая алгебра

В общей алгебре изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является гомоморфизмом. Ниже приводятся несколько примеров.

Группы

Пусть и  — две группы. Биекция называется изоморфизмом, если для любых

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.¹⁾

Поля

Пусть и  — поля. Биекция называется изоморфизмом, если для любых выполняется

1. ,
2. .

Теория множеств

В теории множеств любая биекция является изоморфизмом.

Изоморфизм в теории категорий

В теории категорий изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм , для которого существует такой морфизм , что композиции и  — тождественные морфизмы.

Теория операторов/Функциональный анализ

Ограниченный линейный оператор между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число такое, что для всех векторов . Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

Теория графов

Граф называется изоморфным графу , если существует биекция из множества вершин графа в множество вершин графа , обладающая следующим свойством: если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину и наоборот — если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов. На данный момент не доказана ни её принадлежность классу , ни её -полнота.

Связанные определения

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом.

История

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.

Вариации и обобщения

• Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава 4. Структуры).

См. также

• Гомоморфизм
• Конгруэнция
• Функция
• Отображение

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
• Понтрягин, Лев Семёнович. Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.

Ссылки

• Земятченский П. А. Изоморфизм // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.