Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
<WRAP #content>
======Кольцо (математика)======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Кольцо́** (также **ассоциативное кольцо**) в [[общая-алгебра|общей алгебре]] — [[алгебраическая-структура|алгебраическая структура]], в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются числа ([[целое-число|целые]], [[вещественные-числа|вещественные]], [[комплексные-числа|комплексные]]), [[функция-математика-|функции]], определенные на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на множество чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 17-19.)).</wrap>

<wrap>Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца((//Бельский А., Садовский Л.// [[http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm|Кольца.]] [[квант-журнал-|Квант]] № 2, 1974.)).</wrap>

<wrap>Кольца являются основным объектом изучения [[теория-колец|теории колец]] — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в [[алгебраическая-геометрия|алгебраической геометрии]], [[алгебраическая-теория-чисел|алгебраической теории чисел]], [[алгебраическая-k-теория|алгебраической </wrap><tex>{K}</tex><wrap>-теории]], [[теория-инвариантов|теории инвариантов]].</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====История=====
<wrap>Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 60-70-е годы было построение [[делимость|теории делимости]] в общих полях [[алгебраическое-число|алгебраических чисел]]. Решение этой задачи было опубликовано [[дедекинд-юлиус-вильгельм-рихард|Р. Дедекиндом]] ("X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле", 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие [[кольцо-целых|кольца целых]] числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и [[идеал-алгебра-|идеала]]((<wrap>//Erich Reck// [[http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/dedekind-foundations/|Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics]] <nowiki>//</nowiki> The Stanford Encyclopedia of Philosophy  / Edward N. Zalta. — 2012-01-01.</wrap>)).</wrap>


=====Определение=====
<wrap>Кольцо — это [[множество]] </wrap><tex>{R}</tex><wrap>, на котором заданы две [[бинарная-операция|бинарные операции]]: </wrap><tex>{+}</tex><wrap> и </wrap><tex>{\times}</tex><wrap> (называемые **сложение** и **умножение**), со следующими свойствами, выполняющимися для любых </wrap><tex>{a, b, c \in R}</tex><wrap>:</wrap>


  - <tex>{a + b=b + a}</tex> — [[коммутативная-операция|коммутативность]] сложения;
  - <tex>{a + (b + c)=(a + b) + c}</tex> — [[ассоциативная-операция|ассоциативность]] сложения;
  - <tex>{\exists 0 \in R\ \left(a + 0=0 + a=a\right)}</tex> — существование [[нейтральный-элемент|нейтрального элемента]] относительно сложения;
  - <tex>{\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)}</tex> — существование противоположного элемента относительно сложения;
  - <tex>{(a \times b) \times c=a \times (b \times c)}</tex> — ассоциативность умножения;
  - <tex>{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right.}</tex> — [[дистрибутивность]].
<wrap>Иными словами, кольцо — это [[алгебра-универсальная-алгебра-|универсальная алгебра]] </wrap><tex>{\left(R,+,\times \right)}</tex><wrap>, такая что алгебра </wrap><tex>{\left(R,+\right)}</tex><wrap> — [[абелева-группа|абелева группа]], и операция </wrap><tex>{\times}</tex><wrap> [[дистрибутивность|дистрибутивна]] слева и справа относительно </wrap><tex>{+}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:</wrap>


  * наличие [[нейтральный-элемент|единицы]]: <tex>{\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e=e \times a=a\right)}</tex> (//кольцо с единицей//), обычно единица обозначается 1;
  * [[коммутативность]] умножения: <tex>{\forall a, b \in R \left(a \times b=b \times a\right)}</tex> (//[[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]]//);
<wrap>Иногда под кольцом понимают только кольца [[единица-алгебра-|с единицей]](([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 9.)), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.))).</wrap>

<wrap>Вместо символа </wrap><tex>{\times}</tex><wrap> часто используют символ </wrap><tex>{\cdot}</tex><wrap>, либо вовсе его опускают.</wrap>


=====Простейшие свойства=====
<wrap>Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:</wrap>


  * относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
  * для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
  * нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
  * <tex>{a \cdot 0=0,}</tex> то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
  * <tex>{(-b)=(-1) \cdot b,}</tex> где <tex>{(-b)}</tex> — элемент, обратный к <tex>{b}</tex> по сложению;
  * <tex>{(-a) \cdot b=(-ab);}</tex>
  * <tex>{(-a) \cdot (-b)=(ab).}</tex>(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 273-275.))(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.))

=====Основные понятия=====

====Виды элементов кольца====
<wrap>Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным). Тогда левый [[делитель-нуля|делитель нуля]] — это ненулевой элемент </wrap><tex>{a}</tex><wrap> кольца </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> для которого существует ненулевой элемент </wrap><tex>{b}</tex><wrap> кольца </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> такой что </wrap><tex>{ab=0.}</tex><wrap> Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале </wrap><tex>{(-1, 1).}</tex><wrap> Положим </wrap><tex>{f(x)=\max(0, x),}</tex><wrap> </wrap><tex>{g(x)=\max(0, -x).}</tex><wrap> тогда </wrap><tex>{f\ne0, g\ne0, fg=0,}</tex><wrap> то есть </wrap><tex>{f, g}</tex><wrap> являются делителями нуля. Здесь условие </wrap><tex>{f\ne0}</tex><wrap> означает, что </wrap><tex>{f}</tex><wrap> является функцией, отличной от нуля, но не означает, что </wrap><tex>{f}</tex><wrap> нигде не принимает значение </wrap><tex>{0.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 51-53.))</wrap>

<wrap>[[нильпотентный-элемент|Нильпотентный элемент]] — это элемент </wrap><tex>{a,}</tex><wrap> такой что </wrap><tex>{a^n=0}</tex><wrap> для некоторого </wrap><tex>{n > 0.}</tex><wrap> Пример: [[матрица-математика-|матрица]] </wrap><tex>{\begin{pmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{pmatrix}.}</tex><wrap> Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно(([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 11.)).</wrap>

<wrap>[[идемпотентный-элемент|Идемпотентный элемент]] </wrap><tex>{e}</tex><wrap> — это такой элемент, что </wrap><tex>{e\cdot e=e.}</tex><wrap> Например, идемпотентен любой [[оператор-проектирования|оператор проектирования]], в частности, следующий: </wrap><tex>{\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{pmatrix}}</tex><wrap> в кольце матриц </wrap><tex>{2\times 2.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 359.))</wrap>

<wrap>Если </wrap><tex>{a}</tex><wrap> – произвольный элемент кольца с единицей </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> то левым обратным элементом к </wrap><tex>{a}</tex><wrap> называется </wrap><tex>{a^{-1}_{l}}</tex><wrap> такой, что </wrap><tex>{a^{-1}_{l}a=1.}</tex><wrap> Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента </wrap><tex>{a}</tex><wrap> есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что </wrap><tex>{a}</tex><wrap> обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается </wrap><tex>{a^{-1}.}</tex><wrap> Сам элемент называется обратимым элементом.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 51-53.))</wrap>


====Подкольцо====
<wrap>Подмножество </wrap><tex>{A\subset R}</tex><wrap> называется **подкольцом** </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> если </wrap><tex>{A}</tex><wrap> само является кольцом относительно операций, определенных в </wrap><tex>{R.}</tex><wrap> При этом говорят, что </wrap><tex>{R}</tex><wrap> – расширение кольца </wrap><tex>{A.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 407.)) Другими словами, непустое подмножество </wrap><tex>{A\subset R}</tex><wrap> является подкольцом, если</wrap>


  * <tex>{A}</tex> является аддитивной подгруппой кольца <tex>{R,}</tex> то есть для любых <tex>{x, y \in A : x+y, -x \in A,}</tex>
  * <tex>{A}</tex> замкнуто относительно умножения, то есть для любых <tex>{x, y \in A : xy \in A.}</tex>
<wrap>По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.))</wrap>

<wrap>Подкольцо наследует свойство коммутативности.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 21.))</wrap>

<wrap>[[пересечение-множеств|Пересечение]] любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество </wrap><tex>{E\subset R}</tex><wrap> называется подкольцом, порождённым </wrap><tex>{E,}</tex><wrap> а </wrap><tex>{E}</tex><wrap> — системой образующих для кольца </wrap><tex>{R.}</tex><wrap> Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих </wrap><tex>{E,}</tex><wrap> удовлетворяет этому определению.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.))</wrap>

<wrap>Подкольцо кольца с единицей </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца </wrap><tex>{R.}</tex><wrap> Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца </wrap><tex>{R.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 437.))</wrap>


====Идеалы====
<wrap>Определение и роль идеала кольца сходны с определением [[нормальная-подгруппа|нормальной подгруппы]] в теории [[группа-математика-|групп]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 64.)).</wrap>

<wrap>Непустое подмножество </wrap><tex>{I}</tex><wrap> кольца </wrap><tex>{R}</tex><wrap> называется **левым идеалом**, если:</wrap>


  * <tex>{I}</tex> является аддитивной [[подгруппа|подгруппой]] кольца, то есть сумма любых двух элементов из <tex>{I}</tex> принадлежит <tex>{I,}</tex> а также <tex>{a\in I\Rightarrow -a\in I.}</tex>

  * <wrap>//I//</wrap> замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого <tex>{a\in I,}</tex> <tex>{r\in R}</tex> верно <tex>{ra\in I.}</tex>
<wrap>Из первого свойства следует и замкнутость <wrap>//I//</wrap> относительно умножения внутри себя, так что <wrap>//I//</wrap> является подкольцом.</wrap>

<wrap>Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.\\
**Двусторонний идеал** (или просто **идеал**) кольца </wrap><tex>{R}</tex><wrap> — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.</wrap>

<wrap>Также идеал кольца </wrap><tex>{R}</tex><wrap> может определяться как ядро некоторого [[гомоморфизм|гомоморфизма]] </wrap><tex>{\displaystyle f:R\to R'.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 153.))</wrap>

<wrap>Если </wrap><tex>{x}</tex><wrap> — элемент кольца </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> то множество элементов вида </wrap><tex>{Rx}</tex><wrap> (соответственно, </wrap><tex>{xR}</tex><wrap>) называется левым (соответственно, правым) [[главный-идеал|главным идеалом]], порождённым </wrap><tex>{x.}</tex><wrap> Если кольцо </wrap><tex>{R}</tex><wrap> коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый </wrap><tex>{x,}</tex><wrap> обозначается </wrap><tex>{(x).}</tex><wrap> Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 430-431.)).</wrap>

<wrap>Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется [[простое-кольцо|простым]], если [[факторкольцо]] по этому идеалу не имеет делителей нуля.\\
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется [[максимальный-идеал|максимальным]].(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 406.))</wrap>


====Гомоморфизм====
<wrap>**Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм)** — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца </wrap><tex>{R}</tex><wrap> в кольцо </wrap><tex>{S}</tex><wrap> — это [[функция-математика-|функция]] </wrap><tex>{\displaystyle f:R\to S,}</tex><wrap> такая что</wrap>


  - <tex>{f(a + b)=f(a) + f(b),}</tex>
  - <tex>{\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R.}</tex>
<wrap>В случае колец с единицей иногда требуют также условия </wrap><tex>{f(1)=1}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]], с. 10.))(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 388.)).</wrap>

<wrap>Гомоморфизм колец называется **изоморфизмом**, если существует [[обратная-функция|обратный]] гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. [[автоморфизм|Автоморфизм]] — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 107-108.))</wrap>

<wrap>Если </wrap><tex>{f:R\to S}</tex><wrap> — гомоморфизм колец, множество элементов </wrap><tex>{R,}</tex><wrap> переходящих в ноль, называется [[ядро-алгебра-|ядром]] </wrap><tex>{f}</tex><wrap> (обозначается </wrap><tex>{\mathrm{ker} f}</tex><wrap>). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 432.)). С другой стороны, образ </wrap><tex>{f}</tex><wrap> не всегда является идеалом, но является подкольцом </wrap><tex>{S}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 153.)) (обозначается </wrap><tex>{\mathrm{im} f}</tex><wrap>).</wrap>


====Факторкольцо====
<wrap>Определение факторкольца по идеалу аналогично определению [[факторгруппа|факторгруппы]]. Более точно, факторкольцо кольца </wrap><tex>{R}</tex><wrap> по двустороннему идеалу </wrap><tex>{I}</tex><wrap> — это множество [[класс-смежности|классов смежности]] аддитивной группы </wrap><tex>{R}</tex><wrap> по аддитивной подгруппе </wrap><tex>{I}</tex><wrap> со следующими операциями:</wrap>


  * <tex>{(a + I) + (b + I)=(a + b) + I,}</tex>
  * <tex>{(a + I)(b + I)=(ab) + I.}</tex>
<wrap>Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм </wrap><tex>{p: R \to R/I,}</tex><wrap> задаваемый как </wrap><tex>{x \mapsto x + I.}</tex><wrap> Ядром при этом является идеал </wrap><tex>{I.}</tex><wrap></wrap>

<wrap>Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть </wrap><tex>{\displaystyle f:R\to R',}</tex><wrap> тогда </wrap><tex>{\mathrm{Im} f}</tex><wrap> изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма </wrap><tex>{\mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f.}</tex><wrap>(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 387-390.))</wrap>


=====Некоторые особые классы колец=====

  * Кольцо с единицей <tex>{1\neq 0}</tex>, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется **[[тело-алгебра-|телом]]**.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 523.))
  * Коммутативное тело называется [[поле-алгебра-|полем]](([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]], с. 152.)) Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных [[идеал-алгебра-|идеалов]](([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]], с. 11.))(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 430.)).
  * Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 118.))Любое поле является областью целостности, но обратное неверно(([[#CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972|Атья, Макдональд, 1972]].)).
  * Целостное кольцо <tex>{R}</tex>, не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма <tex>{\displaystyle N\colon R\to Z_{+}}</tex> такая, что:
    - <tex>{N(ab)\le N(a)}</tex>, <tex>{b}</tex> — обратим;
    - для любых <tex>{a,b \in R}</tex> существуют <tex>{q,r \in R}</tex> такие, что <tex>{a=qb + r}</tex> и <tex>{r=0}</tex> или <tex>{N( r ) < N(b)}</tex>(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 118.)).
  * Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 21.)).
  * Кольцо, элементами которого являются [[число|числа]], а операциями — [[сложение]] и [[умножение]] чисел, называют **числовым кольцом**. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 266.)).

=====Примеры=====

  * <tex>{\{ 0\}}</tex> — [[тривиальное-кольцо|тривиальное кольцо]], состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.)). Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения [[теория-категорий|теории категорий]], так как при этом в категориях колец возникает [[терминальный-объект|терминальный объект]].
  * <tex>{\mathbb {Z}}</tex> — [[целые-числа|целые числа]] (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как [[алгебра-над-кольцом|алгебру]] над <tex>{\mathbb {Z}}</tex>. Также это [[начальный-объект|начальный объект]] в категории <wrap>**Ring**</wrap> колец с единицей.(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]].))(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]].))
  * <tex>{\mathbb {Z} _{n}}</tex> — [[конечное-кольцо|конечное кольцо]] [[сравнение-по-модулю|вычетов]] по модулю натурального числа <wrap>//n//</wrap>. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число <wrap>//n//</wrap> [[простое-число|простое]].(([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 28-34.)) Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории [[конечное-поле|конечных полей]]. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры [[конечнопорождённая-абелева-группа|конечнопорождённых абелевых групп]], их также можно использовать для построения [[p-адическое-число|p-адических чисел]].
  * <tex>{\mathbb {Q}}</tex> — кольцо [[рациональное-число|рациональных чисел]], являющееся полем. Это простейшее поле [[характеристика-поля|характеристики]] 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля [[вещественное-число|вещественных чисел]] <tex>{\mathbb {R}}</tex> и <wrap>//p//</wrap>-адических чисел <tex>{\mathbb {Q}_p,}</tex> где <wrap>//p//</wrap> — произвольное простое число(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 509-512.)).
  * Для произвольного коммутативного кольца <tex>{R}</tex> можно построить [[кольцо-многочленов|кольцо многочленов]] от <wrap>//n//</wrap> переменных <tex>{R[x_1,x_2,\dots,x_n]}</tex> с коэффициентами в <tex>{R.}</tex>(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979|Куликов, 1979]], с. 110-111.)) В частности, <tex>{R[x][y]=R[x,y].}</tex> Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через [[тензорное-произведение|тензорное произведение]]: <tex>{R[x_1,\dots,x_n]=R \otimes \left({\mathbb {Z}}[x_1,\dots,x_n]\right).}</tex>
  * Кольцо подмножеств множества <tex>{X}</tex> — это кольцо, элементами которого являются подмножества в <tex>{X}</tex>. Операция сложения есть [[симметрическая-разность|симметрическая разность]], а умножение — [[пересечение-множеств|пересечение множеств]]:
<WRAP>
<tex>{A + B=A \Delta B=(A\setminus B ) \cup (B \setminus A),}</tex><tex>{A \cdot B=A \cap B.}</tex>    * //Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё// <tex>{X.}</tex> //Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть// <tex>{A\cdot A=A.}</tex> //Любой элемент является своим обратным по сложению:// <tex>{A+A=0.}</tex> //Кольцо подмножеств важно в теории [[булева-алгебра|булевых алгебр]] и [[мера-множества|теории меры]], в частности в построении [[теория-вероятностей|теории вероятностей]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011|Винберг, 2011]], с. 18-19.)).//
</WRAP>

=====Конструкции=====

====Прямое произведение====
<wrap>Пусть <wrap>//R//</wrap> и <wrap>//S//</wrap> — кольца. Тогда [[прямое-произведение|произведение]] </wrap><tex>{R\times S}</tex><wrap> можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых </wrap><tex>{r_1,r_2\in R}</tex><wrap>, </wrap><tex>{s_1,s_2\in S:}</tex><wrap></wrap>


  * <tex>{(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),}</tex>
  * <tex>{(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).}</tex>
<wrap>Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 33.))</wrap>

<wrap>Пусть </wrap><tex>{R}</tex><wrap> — [[коммутативное-кольцо|коммутативное кольцо]] и </wrap><tex>{\mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n}</tex><wrap> — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их [[сумма-идеалов|сумма]] равна всему кольцу). [[китайская-теорема-об-остатках|Китайская теорема об остатках]] утверждает, что отображение</wrap>

<WRAP>
<tex>{R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x +  \mathfrak{a}_1, \ldots , x +  \mathfrak{a}_n)}</tex></WRAP>
<wrap>сюръективно, а его ядро — </wrap><tex>{\prod \mathfrak{a}_i=\cap  \mathfrak{a}_i}</tex><wrap> (см. [[произведение-идеалов|Произведение идеалов]], [[пересечение-идеалов|Пересечение идеалов]]).(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]], с. 10.))</wrap>


====Кольцо эндоморфизмов====
<wrap>Пусть <wrap>//A//</wrap> — [[абелева-группа|абелева группа]] (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество [[гомоморфизм-групп|гомоморфизмов]] этой группы в себя (то есть [[эндоморфизм|эндоморфизмов]]) образует кольцо, обозначаемое <wrap>End(//A//)</wrap>. Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: </wrap><tex>{(f+g)(x)=f(x)+g(x),}</tex><wrap> а произведение — как композиция гомоморфизмов: </wrap><tex>{(fg)(x)=f(g(x)).}</tex><wrap> Если <wrap>//A//</wrap> — группа, не являющаяся абелевой, то </wrap><tex>{f+g,}</tex><wrap> вообще говоря, не равно </wrap><tex>{g+f,}</tex><wrap> тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.(([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 173.))</wrap>


====Поле частных и кольцо частных====
<wrap>Пусть <wrap>//R//</wrap> — [[целостное-кольцо|целостное кольцо]], тогда следующая конструкция позволяет построить наименьшее [[поле-алгебра-|поле]], содержащее его. [[поле-частных|Поле частных]] кольца <wrap>//R//</wrap> — это множество [[класс-эквивалентности|классов эквивалентности]] формальных дробей </wrap><tex>{p/q,\; p,q\in R}</tex><wrap> по следующему [[отношение-эквивалентности|отношению эквивалентности]]:</wrap>

<WRAP>
<tex>{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}</tex>   тогда и только тогда, когда <tex>{p_1q_2}={p_2q_1},</tex></WRAP>
<wrap>с обычными операциями: </wrap><tex>{{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.}</tex><wrap></wrap>

<wrap>Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть <wrap>//S//</wrap> — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце <wrap>//R//</wrap> (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда [[кольцо-частных|кольцо частных]] </wrap><tex>{S^{-1}R}</tex><wrap> — это множество классов эквивалентности формальных дробей </wrap><tex>{r/s,\; r\in R, s\in S}</tex><wrap> по отношению эквивалентности:</wrap>

<WRAP>
<tex>{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}</tex> тогда и только тогда, когда существует <tex>{s'\in S}</tex>, такое что <tex>{s'{r_1s_2-r_2s_1}=0.}</tex></WRAP>
<wrap>Также эту конструкцию называют //локализацией кольца// (так как в [[алгебраическая-геометрия|алгебраической геометрии]] она позволяет исследовать локальные свойства [[алгебраическое-многообразие|многообразия]] в отдельной его точке). Пример: кольцо [[десятичная-дробь|десятичных дробей]] — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе </wrap><tex>{S=\{10^n|n\ge 0\}.}</tex><wrap></wrap>

<wrap>Существует естественное отображение </wrap><tex>{R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.}</tex><wrap> Его [[ядро-алгебра-|ядро]] состоит из таких элементов //r//, для которых существует <wrap>//s// ∈ //S//</wrap>, такое что </wrap><tex>{rs=0.}</tex><wrap> В частности, для целостного кольца это отображение [[инъективность|инъективно]](([[#CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975|Ван дер Варден, 1975]], с. 450-452.))(([[#CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968|Курош, 1968]], с. 305-311.)).</wrap>


=====Категорное описание=====
<wrap><wrap #.D0.9A.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D0.B8.D1.81.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5></wrap></wrap>

<wrap>Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют [[теория-категорий|категорию]], обычно обозначаемую **Ring** (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают **Rng**). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она [[полная-категория|полна и кополна]]. Это значит, что в ней существуют все малые [[предел-теория-категорий-|пределы]] и копределы (например, [[произведение-теория-категорий-|произведения]], [[копроизведение|копроизведения]], [[ядро-теория-категорий-|ядра]] и [[коядро-теория-категорий-|коядра]]). Категория колец с единицей обладает [[начальный-объект|начальным объектом]] (кольцо </wrap><tex>{\mathbb {Z}}</tex><wrap>) и [[терминальный-объект|терминальным объектом]] (нулевое кольцо).</wrap>

<wrap>Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это [[моноид-теория-категорий-|моноид]] в [[категория-абелевых-групп|категории абелевых групп]] (абелевы группы образуют [[моноидальная-категория|моноидальную категорию]] относительно операции [[тензорное-произведение|тензорного произведения]]). [[действие-группы|Действие]] кольца //R// на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как [[моноид]] по умножению) превращает абелеву группу в //R//-[[модуль-над-кольцом|модуль]]. Понятие модуля обобщает понятие [[векторное-пространство|векторного пространства]]: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977|Фейс, 1977]].))(([[#CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979|Фейс, 1979]].))</wrap>


=====Специальные классы колец=====
<WRAP>
  * [[артиново-кольцо|Артиново кольцо]]
  * [[дедекиндово-кольцо|Дедекиндово кольцо]]
  * [[дистрибутивное-кольцо|Дистрибутивное кольцо]]
  * [[дифференциальная-алгебра|Дифференциальное кольцо]]
  * [[кольцо-главных-идеалов|Кольцо главных идеалов]]
  * [[евклидово-кольцо|Евклидово кольцо]]
  * [[кольцо-безу|Кольцо Безу]]
  * [[кольцо-ли|Кольцо Ли]]
  * [[конечное-кольцо|Конечное кольцо]]
  * [[локальное-кольцо|Локальное кольцо]]
  * [[нётерово-кольцо|Нётерово кольцо]]
  * [[область-целостности|Область целостности]]
  * [[область-главных-идеалов|Область главных идеалов]]
  * [[первичное-кольцо|Первичное кольцо]]
  * [[полулокальное-кольцо|Полулокальное кольцо]]
  * [[полупервичное-кольцо|Полупервичное кольцо]]
  * [[полупростое-кольцо|Полупростое кольцо]]
  * [[полуцепное-кольцо|Полуцепное кольцо]]
  * [[простое-кольцо|Простое кольцо]]
  * [[факториальное-кольцо|Факториальное кольцо]]
  * [[цепное-кольцо|Цепное кольцо]]
</WRAP><wrap>Обобщения — [[неассоциативное-кольцо|неассоциативное кольцо]], [[полукольцо]], [[почтикольцо]].</wrap>


=====Структуры над кольцами=====

  * [[алгебра-над-кольцом|Алгебра над кольцом]]
  * [[бимодуль-над-кольцом|Бимодуль над кольцом]]
  * [[модуль-над-кольцом|Модуль над кольцом]]

=====Литература=====

  * <wrap #CITEREF.D0.90.D1.82.D1.8C.D1.8F.2C_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.B4.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.B41972>//[[атья-майкл-фрэнсис|М. Атья]], И. Макдональд.// Введение в коммутативную алгебру. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1972. — 160 с.</wrap>
  * //Бельский А., Садовский Л.// [[http://kvant.mccme.ru/1974/02/kolca.htm|Кольца.]] [[квант-журнал-|Квант]] № 2, 1974.
  * <wrap #CITEREF.D0.92.D0.B0.D0.BD_.D0.B4.D0.B5.D1.80_.D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.B5.D0.BD1975>//[[ван-дер-варден-бартель-леендерт|Ван дер Варден Б. Л.]]// Алгебра. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1975. — 623 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.92.D0.B8.D0.BD.D0.B1.D0.B5.D1.80.D0.B32011>//[[винберг-эрнест-борисович|Винберг Э. Б.]]// Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — <wrap>М</wrap>.: МЦНМО, 2011. — 592 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.93.D0.BB.D0.B5.D0.B9.D0.B7.D0.B5.D1.801983>//[[глейзер-герш-исаакович|Глейзер Г. И.]]// История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — <wrap>М</wrap>.: Просвещение, 1983. — 351 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.9A.D0.BE.D0.BB.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.BE.D0.B21978>//[[колмогоров-андрей-николаевич|Колмогоров А. Н.]],[[юшкевич-адольф-павлович|Юшкевич А. П.]](ред.).// Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1978. — 255 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979>//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — <wrap>М</wrap>.: Высш. школа, 1979. — 559 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.9A.D1.83.D1.80.D0.BE.D1.881968>//[[курош-александр-геннадиевич|Курош А. Г.]]// Курс высшей алгебры.. — <wrap>М</wrap>.: Наука, 1968. — 431 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811977>//Фейс К.// Алгебра. Кольца, модули, категории.. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.A4.D0.B5.D0.B9.D1.811979>//Фейс К.// Алгебра. Кольца, модули, категории.. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.A5.D0.B5.D1.80.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9.D0.BD1972>//Херстейн И.// Некоммутативные кольца. — <wrap>М</wrap>.: Мир, 1972. — 190 с.</wrap>
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Общая алгебра" "Теория колец"}}
Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама
