Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

<WRAP #content>
======Конгруэнция======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Конгруэнция** — [[отношение-эквивалентности|отношение эквивалентности]] на [[алгебраическая-система|алгебраической системе]], сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в [[универсальная-алгебра|универсальной алгебре]]: всякая конгруэнция порождает соответствующую [[факторсистема|факторсистему]] — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.</wrap>


=====Определение=====
<wrap>Отношение </wrap><tex>{\theta(x_1, \ldots, x_m)}</tex><wrap> на множестве </wrap><tex>{A}</tex><wrap> называется //стабильным// относительно </wrap><tex>{n}</tex><wrap>-арной операции </wrap><tex>{f}</tex><wrap>, определённой на этом множестве, если для любых элементов </wrap><tex>{a_{i1}, \ldots, a_{im}}</tex><wrap> (</wrap><tex>{i=1, \ldots, n}</tex><wrap>) множества </wrap><tex>{A}</tex><wrap> из истинности отношений </wrap><tex>{\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})}</tex><wrap> (</wrap><tex>{i=1, \ldots, n}</tex><wrap>) вытекает истинность отношения </wrap><tex>{\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Отношение </wrap><tex>{\theta}</tex><wrap> называется конгруэнцией на алгебраической системе </wrap><tex>{\mathfrak A}</tex><wrap>, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы </wrap><tex>{\mathfrak {A}}</tex><wrap>. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы </wrap><tex>{\mathfrak {A}}</tex><wrap>.)</wrap>


=====Факторсистема=====
<wrap>Для алгебраической системы </wrap><tex>{\mathfrak A=(A, \mathit\Phi, \mathit {P})}</tex><wrap> на [[фактормножество|фактормножестве]] </wrap><tex>{A / \theta}</tex><wrap> по конгруэнции </wrap><tex>{\theta \subseteq A^2}</tex><wrap> для всех операций </wrap><tex>{f_i \in \mathit\Phi}</tex><wrap> и отношений </wrap><tex>{r_i \in \mathit {P}}</tex><wrap> естественным образом вводятся операции и отношениями над соответствующими классами смежности:</wrap>

<WRAP>
<tex>{f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta)=[f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta}</tex>,<tex>{r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m)}</tex>.</WRAP>
<wrap>Получающаяся система обозначается </wrap><tex>{\mathfrak{A} / \theta}</tex><wrap> и называется факторсистемой, а отображение </wrap><tex>{h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta}</tex><wrap>, определяемое правилом </wrap><tex>{h_\theta(a)=[a]_\theta}</tex><wrap> — //каноническим эпиморфизмом//.</wrap>

<wrap>Множество всех конгруэнций данной системы </wrap><tex>{\mathrm{Con}(\mathfrak{A})}</tex><wrap> образует [[полная-решётка|полную решётку]] относительно [[бинарное-отношение#-d0-9e-d0-bf-d0-b5-d1-80-d0-b0-d1-86-d0-b8-d0-b8-d0-bd-d0-b0-d0-b4-d0-be-d1-82-d0-bd-d0-be-d1-88-d0-b5-d0-bd-d0-b8-d1-8f-d0-bc-d0.b8|операций объединения и пересечения]], а также задает отношение включения:</wrap>

<WRAP>
<tex>{\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b}</tex>.</WRAP>
<wrap><wrap #.D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.A0.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D0.BA.D0.B0></wrap>Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы </wrap><tex>{\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})}</tex><wrap> имеет место следующий результат (**теорема Ремака**): факторсистема по пересечению набора конгруэнций [[инъекция-математика-|вкладывается]] в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:</wrap>

<WRAP>
<tex>{\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \rightar \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}}</tex>//.//</WRAP>

=====Литература=====

  * <wrap #CITEREF.D0.9E.D0.B1.D1.89.D0.B0.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.B5.D0.B1.D1.80.D0.B01991>//[[артамонов-вячеслав-александрович|Артамонов В. А.]] // Глава VI. Универсальные алгебры <nowiki>//</nowiki> Общая алгебра / Под общ. ред. [[скорняков-лев-анатольевич|Л. А. Скорнякова]]. — <wrap>М</wrap>.: [[наука-издательство-|Наука]], 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — <wrap><wrap>25 000</wrap> экз.</wrap> — [[служебная-источники-книг/5922104004|ISBN 5-9221-0400-4]].</wrap>
  * <wrap #CITEREF.D0.9C.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D1.86.D0.B5.D0.B21970>//[[мальцев-анатолий-иванович|Мальцев, А. И.]]// Алгебраические системы. — <wrap>М</wrap>.: [[наука-издательство-|Наука]], 1970. — 392 с. — <wrap>17 500 экз.</wrap></wrap>
<wrap>\\
</wrap>

</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Математические отношения" "Универсальная алгебра"}}

Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама