Инструменты пользователя

Инструменты сайта


конгруэнция

Конгруэнция

Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.

Определение

Отношение tex:{\theta(x_1, \ldots, x_m)} на множестве tex:{A} называется стабильным относительно tex:{n}-арной операции tex:{f}, определённой на этом множестве, если для любых элементов tex:{a_{i1}, \ldots, a_{im}} (tex:{i=1, \ldots, n}) множества tex:{A} из истинности отношений tex:{\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})} (tex:{i=1, \ldots, n}) вытекает истинность отношения tex:{\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))}.

Отношение tex:{\theta} называется конгруэнцией на алгебраической системе tex:{\mathfrak A}, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы tex:{\mathfrak {A}}. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы tex:{\mathfrak {A}}.)

Факторсистема

Для алгебраической системы tex:{\mathfrak A=(A, \mathit\Phi, \mathit {P})} на фактормножестве tex:{A / \theta} по конгруэнции tex:{\theta \subseteq A^2} для всех операций tex:{f_i \in \mathit\Phi} и отношений tex:{r_i \in \mathit {P}} естественным образом вводятся операции и отношениями над соответствующими классами смежности:

tex:{f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta)=[f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta},tex:{r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m)}.

Получающаяся система обозначается tex:{\mathfrak{A} / \theta} и называется факторсистемой, а отображение tex:{h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta}, определяемое правилом tex:{h_\theta(a)=[a]_\theta} — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы tex:{\mathrm{Con}(\mathfrak{A})} образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

tex:{\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b}.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы tex:{\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})} имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

tex:{\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \rightar \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}}.

Литература


конгруэнция.txt · Последние изменения: 2017/02/02 13:49 (внешнее изменение)