Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

<WRAP #content>
======Магма (алгебра)======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Магма** (**группоид**) в [[общая-алгебра|общей алгебре]] — [[алгебра-универсальная-алгебра-|алгебра]], состоящая из [[множество|множества]] <wrap>//М//</wrap> с одной [[бинарная-операция|бинарной операцией]] <wrap>//M// × //M// → //M//</wrap>. Помимо требования [[замыкание-алгебра-|замкнутости]] множества относительно заданной на нём [[операция-математика-|операции]], других требований к операции и множеству не предъявляется.</wrap>

<wrap>Термин «//магма//» был предложен [[николя-бурбаки|Бурбаки]]. Термин «//группоид//» старше, он предложен [[оре-ойстин|Ойстином Оре]], однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — [[группоид-теория-категорий-|теоретико-категорному группоиду]], и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Типы магм=====
<wrap>Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:</wrap>


  * [[квазигруппа-математика-|квазигруппа]] — непустая магма, в которой всегда возможно [[деление-математика-|деление]];
  * петля или [[лупа-алгебра-|лупа]] — квазигруппа с [[нейтральный-элемент|нейтральным элементом]];
  * [[полугруппа]] — магма с [[ассоциативная-операция|ассоциативной операцией]];
  * [[моноид]] — полугруппа с [[нейтральный-элемент|нейтральным элементом]];
  * [[группа-математика-|группа]] — моноид с [[обратный-элемент|обратным элементом]] или, то же что, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
  * [[абелева-группа|абелева группа]] — группа с [[коммутативная-операция|коммутативной операцией]].

=====Морфизм магм=====
<wrap>[[морфизм|Морфизм]] магм — это функция </wrap><tex>{f:M\to N}</tex><wrap>, соотносящая магме </wrap><tex>{M}</tex><wrap> магму </wrap><tex>{N}</tex><wrap>, которая сохраняет бинарную операцию:</wrap>

<WRAP>
<tex>{f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}</tex></WRAP>
<wrap>где </wrap><tex>{*_{M}}</tex><wrap> и </wrap><tex>{*_{N}}</tex><wrap> обозначают бинарные операции на </wrap><tex>{M}</tex><wrap> и на </wrap><tex>{N}</tex><wrap> соответственно.</wrap>


=====Комбинаторика и скобки=====
<wrap>Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая [[строковый-тип|строка]] состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется [[язык-дика|языком Дика]]. Общее число различных способов записи //n// применений оператора магмы определяется [[число-каталана|числом Каталана]] </wrap><tex>{C_{n}}</tex><wrap>. Так например, </wrap><tex>{C_{2}=2}</tex><wrap>, что эквивалентно утверждению, что </wrap><tex>{(ab)c}</tex><wrap> и </wrap><tex>{a(bc)}</tex><wrap> — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.</wrap>

<wrap>Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий [[приоритет-операции|приоритет]] у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы «·», то <wrap>//xy//·//z//</wrap> — сокращённая запись <wrap>(//x// · //y//) · //z//</wrap>. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая <wrap>//xy//·//z// · //wv//</wrap> вместо <wrap>((//x// · //y//) · //z//) · (//w// · //v//)</wrap>. Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способом избежать использования скобок является [[польская-нотация|префиксная запись]], которая, однако, неинтуитивна.</wrap>


=====См. также=====

  * [[универсальная-алгебра|Универсальная алгебра]]
  * [[алгебраическая-система|Алгебраическая система]]

=====Литература=====

  * <wrap #CITEREF.D0.9A.D1.83.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.BE.D0.B21979>//Куликов Л. Я.// Алгебра и теория чисел. — <wrap>М</wrap>.: Высшая школа, 1979. — 559 с.</wrap>
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Общая алгебра"}}

Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама