Инструменты пользователя

Инструменты сайта


минор-линейная-алгебра

Минор (линейная алгебра)

Минор tex:\small {{A{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\dots \alpha _{k}\\\beta _{1}&\beta _{2}\dots \beta _{k}\end{bmatrix}}}} матрицы tex:\small {{A}}определитель такой квадратной матрицы tex:\small {{B}} порядка tex:\small {{k}} (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице tex:\small {{A}} на пересечении строк с номерами tex:\small {{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}}} и столбцов с номерами tex:\small {{\beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{k}}}.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые tex:\small {{k}} строк и первые tex:\small {{k}} столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы tex:\small {{n}}-го порядка есть определитель порядка tex:\small {{n-1}}, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путём вычеркивания tex:\small {{i}}-й строки и tex:\small {{j}}-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Дана матрица:

tex:\small {{\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}

Предположим, необходимо найти дополнительный минор второго порядка tex:\small {{\displaystyle M_{23}}}. Этот минор получается путём вычеркивания второй строки и третьего столбца:

tex:\small {{\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}} tex:\small {{\longrightarrow}} tex:\small {{\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13}}

Получаем tex:\small {{\displaystyle M_{23}=13}}

См. также

минор-линейная-алгебра.txt · Последние изменения: 2017/02/03 11:15 (внешнее изменение)