Сайт патологического холостяка

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

<WRAP #content>
======Мономорфизм======
<WRAP #bodyContent><WRAP #mw-content-text :ru><wrap>**Мономорфи́зм** ― [[морфизм]] </wrap><tex>{m:A\to B}</tex><wrap> [[категория-математика-|категории]] </wrap><tex>{\mathcal  C}</tex><wrap>, такой что из всякого равенства </wrap><tex>{m\circ f=m\circ h}</tex><wrap> следует, что </wrap><tex>{f=h}</tex><wrap> (другими словами, на </wrap><tex>{m}</tex><wrap> можно сокращать слева). Часто мономорфизм из //X// в //Y// обозначают </wrap><tex>{X\hookrightarrow Y}</tex><wrap>.</wrap>

<wrap>Двойственным к понятию мономорфизм является понятие [[эпиморфизм|эпиморфизма]]. Отметим, что для того, чтобы [[морфизм|стрелка]] была [[изоморфизм|изоморфизмом]], в общем случае не достаточно её мономорфности и эпиморфности.</wrap>

<wrap>Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия [[инъективность|инъективной функции]]. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.</wrap>

<wrap></wrap>

<wrap></wrap>


=====Связь с обратимостью=====
<wrap>Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если //l// — левый обратный к //f// (то есть </wrap><tex>{l\circ f=\operatorname {id}_{{X}}}</tex><wrap>), то</wrap>

<WRAP>
<tex>{f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}</tex></WRAP>
<wrap>В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории **Grp** всех [[группа-математика-|групп]], если //H// является подгруппой //G//, то вложение //f// : //H// → //G// — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм //f// : //G// → //H// существует, только если у //H// есть нормальная [[дополнительная-группа|дополнительная группа]] (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм </wrap><tex>{f:X\to Y}</tex><wrap> является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение </wrap><tex>{f_{{*}}:{\mathrm  {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm  {Hom}}(Z,Y)}</tex><wrap>, определенное как </wrap><tex>{f_{{*}}h=f\circ h}</tex><wrap> для морфизмов </wrap><tex>{h:Z\to X}</tex><wrap>, [[инъективность|инъективно]] для всех //Z//.</wrap>


=====Связь с инъективностью=====
<wrap>Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в [[конкретная-категория|конкретных категориях]]. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В [[категория-множеств|категории множеств]] верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию [[свободный-объект|свободного объекта]], порожденного одним элементом. Например, это верно в любой [[абелева-категория|абелевой категории]].</wrap>

<wrap>Однако это верно не всегда. Например, в категории **Div** [[полная-группа|делимых]] (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации //q// : **Q** → **Q**/**Z**.</wrap>


=====Типы мономорфизмов=====

  * Мономорфизм называется регулярным, если он является [[уравнитель-математика-|уравнителем]] некоторой пары параллельных морфизмов.
  * Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм. Более подробно, если экстремальный мономорфизм представлен в виде //g// ∘ //e// с эпиморфизмом //e//, то //e// — изоморфизм.

=====Терминология=====
<wrap>Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться [[бурбаки|Бурбаки]], причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. [[маклейн-саундерс|Маклейн, Саундерс]] попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и «monic maps» — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.</wrap>


=====Литература=====

  * //С. Маклейн// Категории для работающего математика, — <wrap>М</wrap>.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — [[служебная-источники-книг/5922104004|ISBN 5-9221-0400-4]].
  * George Bergman (1998), //[[http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html|An Invitation to General Algebra and Universal Constructions]]//, Henry Helson Publisher, Berkeley. [[служебная-источники-книг/0965521141|ISBN 0-9655211-4-1]].

=====См. также=====

  * [[подобъект|Подобъект]]
  * [[эпиморфизм|Эпиморфизм]]
  * [[вложение|Вложение]]
</WRAP><WRAP></WRAP></WRAP></WRAP>
{{tag>"Теория категорий"}}

Сайт патологического холостяка

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама

Сайт патологического холостяка

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы

Главное меню

Рекомендовать сайт

Навигация

Вход на сайт

Старая структура меню

Реклама