Инструменты пользователя

Инструменты сайта


No renderer 'timeline' found for mode 'timeline'
подобие

Подобие

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек tex:{A}, tex:{B} и их образов tex:{A'}, tex:{B'} имеет место соотношение tex:{|A'B'|=k|AB|}, где tex:{\displaystyle k\neq 0} — коэффициент подобия.

Открытие

Учение о  подобии фигур было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида.

Примеры

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом tex:{k=1}.

Связанные определения

Свойства

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка tex:{B} лежит между точками tex:{A}, tex:{C} и tex:{B'}, tex:{A'}, tex:{C'} — соответствующие их образы при некотором подобии, то tex:{B'} также лежит между точками tex:{A'} и tex:{C'}.
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
  • Подобие с коэффициентом tex:{k\not=1}, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом tex:{k} или tex:{-k}.
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения tex:{D} и некоторой гомотетии tex:{\Gamma} с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение tex:{D} является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в tex:{n}-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет tex:{r}-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов tex:{r}-членная группа подобных преобразований Ли содержит tex:{(r-1)}-членную нормальную подгруппу движений.

Обозначение

Для обозначения подобия используется значок ~.

См. также

Ссылки


подобие.txt · Последние изменения: 2017/02/02 11:22 (внешнее изменение)