Инструменты пользователя

Инструменты сайта


поле-алгебра

Поле (алгебра)

По́ле в общей алгебре — алгебра, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля.

История

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году). Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формальные определения

Алгебра над множеством tex:{F}, образующая коммутативную группу по сложению tex:{+} над tex:{F} с нейтральным элементом tex:{0} и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами tex:{F\setminus \{{0}\}}, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество tex:{F} с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения tex:{+} и умножения tex:{*} (tex:{+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F}, т. е. tex:{\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F}) называется полем tex:{\left\langle F,+,*\right\rangle}, если выполнены следующие аксиомы:

  1. Коммутативность сложения: tex:{\forall a,b\in F\quad a+b=b+a}.
  2. Ассоциативность сложения: tex:{\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)}.
  3. Существование нулевого элемента: tex:{\exists {{0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{{0}}=a}.
  4. Существование противоположного элемента: tex:{\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={{0}}}.
  5. Коммутативность умножения: tex:{\forall a,b\in F\quad a*b=b*a}.
  6. Ассоциативность умножения: tex:{\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)}.
  7. Существование единичного элемента: tex:{\exists e\in F\colon \forall a\in F\quad a*e=a}.
  8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: tex:{(\forall a\in F\colon a\neq {{0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}.
  9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: tex:{\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}.

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению tex:{+} над tex:{F}, аксимомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению tex:{*} над tex:{F\setminus \{{{0}}\}}, а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Связанные определения

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение tex:{f}, такое что tex:{f(a+b)=f(a)+f(b)}, tex:{f(ab)=f(a)\cdot f(b)} и tex:{f(1)=1}. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как tex:{f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1}, следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число tex:{n} такое, что сумма tex:{n} копий единицы равна нулю:

tex:{\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.}

Если такого числа не существует, то характеристика равна tex:{\displaystyle 0} по определению. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

Свойства

  • Характеристика поля всегда tex:{\displaystyle 0} или простое число.
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно tex:{p^{n}} — степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида tex:{p^{n}} существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из tex:{p^{n}} элементов, обычно обозначаемое tex:{\mathbb {F} _{p^{n}}}.
  • В поле нет делителей нуля.
  • Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля tex:{\mathbb {F} _{q}} изоморфна tex:{\mathbb {Z} _{q-1}}.
  • С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если в идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Примеры полей

Литература

  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3. Chapter VII.
  • Galois, Évariste (1830). «Sur la théorie des nombres». Bulletin des Sciences mathématiques XIII: 428.
поле-алгебра.txt · Последние изменения: 2017/02/02 13:53 (внешнее изменение)