Инструменты пользователя

Инструменты сайта


полугруппа

Полугруппа

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией tex:{\displaystyle (S,\cdot )}. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу tex:{S}, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент tex:{e\not \in S} и определив tex:{es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};} полученный моноид обычно обозначается как tex:{S^{1}}.

Примеры полугрупп: положительные целые числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Определение

Полугруппой является (непустое) множество tex:{\mathfrak  {U}}, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов tex:{\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {U}}} определён новый элемент, называемый их произведением tex:{\displaystyle U=XY\in {\mathfrak {U}}}, причём для любых tex:{\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}} всегда выполнено tex:{\displaystyle (XY)Z=X(YZ)}1).

Виды полугрупп

  • Полугруппа tex:{\mathfrak  {U}} называется коммутативной, если для любых tex:{\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}} всегда выполнено tex:{\displaystyle AB=BA}.
  • Полугруппа tex:{\mathfrak  {U}} называется группой, если для любых tex:{\displaystyle A,B\in {\mathfrak {U}}} в tex:{\mathfrak  {U}} всегда найдутся такие tex:{X,Y}, что tex:{\displaystyle XA=B,AY=B}.
  • Полугруппа tex:{\mathfrak  {U}} называется полугруппой с левым сокращением, если при любых tex:{\displaystyle X,A,B\in {\mathfrak {U}}} из tex:{\displaystyle XA=XB} всегда следует tex:{A=B}.
  • Полугруппа tex:{\mathfrak  {U}} называется полугруппой с правым сокращением, если при любых tex:{\displaystyle Y,A,B\in {\mathfrak {U}}} из tex:{\displaystyle AY=BY} всегда следует tex:{A=B}.
  • Полугруппа tex:{\mathfrak  {U}} называется полугруппой с двусторонним сокращением, если она одновременно является и полугруппой с левым сокращением и полугруппой с правым сокращением2).
  • Элемент tex:{A} полугруппы tex:{\mathfrak  {U}} называется регулярным, если в tex:{\mathfrak  {U}} найдется такой элемент tex:{X}, что tex:{\displaystyle AXA=A}. Подгруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.
  • Элемент tex:{A} полугруппы tex:{\mathfrak  {U}} называется вполне регулярным, если в tex:{\displaystyle {\mathfrak {U}}} найдется такой элемент tex:{X}, что tex:{\displaystyle AXA=A,AX=XA}. Подгруппа, все элементы которой вполне регулярны, называется вполне регулярной полугруппой3).

Структура полугруппы

Если tex:{A,B\subset S}, то принято обозначать tex:{\displaystyle AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}}.

Подмножество tex:{A} полугруппы tex:{S} называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из tex:{A} их произведение также принадлежало tex:{A}.

Если подмножество tex:{A} непусто и tex:{\displaystyle AS} (соответственно, tex:{\displaystyle SA}) лежит в tex:{A}, то tex:{A} называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если tex:{A} является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

tex:{\displaystyle a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a} }}}.

Для степени элемента справедливо соотношение tex:{a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb  N}}.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов tex:{a} и tex:{b} определено правое tex:{(a/b)} и левое tex:{(b/a)} частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого tex:{aa=a}).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение tex:{f} из полугруппы tex:{R} в полугруппу tex:{S} называется гомоморфизмом, если tex:{\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)}. Две полугруппы tex:{S} и tex:{T} называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм tex:{f\colon S\to T}.

Отношения Грина

В 1951 году Джеймс Грин (англ. James Alexander Green) ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе tex:{S} определяются следующими формулами:

tex:{aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}}tex:{aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b}tex:{aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}tex:{H=L\cap R}tex:{D=R\vee L}

Из определения непосредственно следует, что tex:{R} — правая конгруэнция, а tex:{L} — левая конгруэнция. Также известно, что tex:{D=R\circ L=L\circ R}. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы tex:{a} и tex:{b} R-эквивалентны, tex:{u}, tex:{v} такие, что tex:{au=b}, tex:{bv=a} и tex:{p_{u},p_{v}} — соответствующие правые сдвиги, то tex:{p_{u},p_{v}} — взаимно обратные биекции tex:{L_{a}} на tex:{L_{b}} и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Литература

  • Шеврин Л. Н.  Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.


полугруппа.txt · Последние изменения: 2017/02/02 11:19 (внешнее изменение)