Инструменты пользователя

Инструменты сайта


гомеоморфизм

Гомеоморфизм

Классический пример гомеоморфизма: кружка и тор топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. όμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть tex:{(X,\mathcal{T}_X)} и tex:{(Y,\mathcal{T}_Y)} — два топологических пространства. Функция tex:{f:X \to Y} называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также tex:{f} и обратная функция tex:{f^{-1}} непрерывны.

Связанные определения

  • Пространства tex:{X} и tex:{Y} в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.
    • Обычно это отношение обозначается tex:{\displaystyle X\simeq Y}.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть tex:{|a,b|\subset \mathbb{R}} — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть tex:{f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R} — биекция. Тогда tex:{f} является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда tex:{f} строго монотонна и непрерывна на tex:{|a,b|.}

Пример

tex:{f(x)=\mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).}

См. также

Литература

Ссылки


гомеоморфизм.txt · Последние изменения: 2017/02/02 11:10 (внешнее изменение)

Taobao RU